Tangente und Normale an Kurven

Die Tangente an einen Funktionsgraphen

Die Tangente an den Graphen einer Funktion $ f $ in einem Punkt $ P = (x_0, f(x_0)) $ ist diejenige Gerade, die den Graphen in diesem Punkt berührt und dort dieselbe Steigung wie der Graph besitzt. Die Ableitung $ f'(x_0) $ liefert genau diese Steigung. Mit der Punkt-Steigung-Form einer Geraden ergibt sich die Tangentengleichung:

$$t(x) = f'(x_0) \cdot (x – x_0) + f(x_0)$$

Diese Formel ist eine der am häufigsten verwendeten in der Analysis. Man benötigt dazu lediglich den Berührpunkt $ (x_0, f(x_0)) $ und die Steigung $ f'(x_0) $.

Beispiel 1: Für $ f(x) = x^2 $ an der Stelle $ x_0 = 2 $. Es gilt $ f(2) = 4 $ und $ f'(x) = 2x $, also $ f'(2) = 4 $. Die Tangentengleichung lautet:

$$t(x) = 4(x – 2) + 4 = 4x – 4$$

Die Tangente an die Normalparabel im Punkt $ (2, 4) $ ist also die Gerade $ t(x) = 4x – 4 $.

Beispiel 2: Für $ f(x) = e^x $ an der Stelle $ x_0 = 0 $. Es gilt $ f(0) = 1 $ und $ f'(0) = e^0 = 1 $. Also:

$$t(x) = 1 \cdot (x – 0) + 1 = x + 1$$

Die Tangente an die e-Funktion im Punkt $ (0, 1) $ ist die Gerade $ t(x) = x + 1 $. Diese lineare Näherung ist für kleine Werte von $ x $ erstaunlich genau – sie ist der Beginn der Taylorentwicklung von $ e^x $ um $ x = 0 $.

Die Normale an einen Funktionsgraphen

Die Normale in einem Punkt $ P = (x_0, f(x_0)) $ ist die Gerade, die senkrecht auf der Tangente steht. Stehen zwei Geraden senkrecht aufeinander, so ist das Produkt ihrer Steigungen gleich $ -1 $ (sofern keine der Geraden senkrecht verläuft). Ist die Tangentensteigung $ m_t = f'(x_0) \neq 0 $, so ist die Normalensteigung:

$$m_n = -\frac{1}{f'(x_0)}$$

Die Normalengleichung lautet dann:

$$n(x) = -\frac{1}{f'(x_0)} \cdot (x – x_0) + f(x_0)$$

Beispiel: Für $ f(x) = x^2 $ an der Stelle $ x_0 = 2 $ mit Tangentensteigung $ 4 $: Die Normalensteigung ist $ m_n = -\frac{1}{4} $, und die Normalengleichung lautet $ n(x) = -\frac{1}{4}(x – 2) + 4 = -\frac{1}{4}x + \frac{9}{2} $.

Ist die Tangentensteigung null (waagerechte Tangente), verläuft die Normale senkrecht, also als Gerade $ x = x_0 $.

Tangente von einem externen Punkt

Eine wichtige Aufgabenstellung ist: Bestimme die Tangente(n) an den Graphen von $ f $, die durch einen gegebenen Punkt $ Q = (x_Q, y_Q) $ verlaufen, der nicht unbedingt auf dem Graphen liegt. Man setzt an, dass die Tangente im Berührpunkt $ (x_0, f(x_0)) $ durch $ Q $ geht:

$$y_Q = f'(x_0)(x_Q – x_0) + f(x_0)$$

Diese Gleichung muss nach $ x_0 $ gelöst werden. Je nach Funktion und Lage von $ Q $ kann es null, eine oder mehrere Lösungen geben.

Beispiel: Tangente an $ f(x) = x^2 $ durch den Punkt $ Q = (0, -1) $. Ansatz: $ -1 = 2x_0(0 – x_0) + x_0^2 = -2x_0^2 + x_0^2 = -x_0^2 $. Also $ x_0^2 = 1 $, d. h. $ x_0 = \pm 1 $. Es gibt zwei Tangenten: $ t_1(x) = 2x – 1 $ (Berührpunkt $ (1,1) $) und $ t_2(x) = -2x – 1 $ (Berührpunkt $ (-1, 1) $).

Tangente als lineare Approximation

Die Tangente liefert die beste lineare Näherung der Funktion in der Umgebung des Berührpunkts. Für $ x $ nahe bei $ x_0 $ gilt näherungsweise:

$$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x – x_0)$$

Diese Approximation ist die Grundlage vieler numerischer Verfahren, etwa des Newton-Verfahrens zur Nullstellenberechnung. Sie wird auch als Linearisierung bezeichnet und spielt in der Physik und den Ingenieurwissenschaften eine zentrale Rolle, wenn komplizierte Zusammenhänge durch einfache lineare Beziehungen angenähert werden.

Anwendungen

Tangenten und Normalen haben vielfältige praktische Anwendungen. In der Optik beschreibt die Normale auf eine spiegelnde Oberfläche die Richtung, an der Lichtstrahlen reflektiert werden. In der Mechanik steht die Normalkraft senkrecht auf einer Oberfläche. In der Computergrafik werden Normalen zur Beleuchtungsberechnung verwendet. Die Tangente beschreibt die momentane Bewegungsrichtung einer Kurve und wird z. B. in der Bahnplanung eingesetzt.

Zusammenfassung

Die Tangente berührt den Graphen in einem Punkt und hat dort die gleiche Steigung wie die Funktion. Ihre Gleichung ergibt sich direkt aus dem Berührpunkt und der Ableitung. Die Normale steht senkrecht auf der Tangente, ihre Steigung ist der negative Kehrwert der Tangentensteigung. Beide Konzepte haben nicht nur mathematische Bedeutung, sondern finden in Physik, Technik und Informatik breite Anwendung. Die Tangente als lineare Approximation ist zudem die Grundidee zahlreicher numerischer Verfahren.