Stammfunktion und unbestimmtes Integral

Was ist eine Stammfunktion?

Die Stammfunktion kehrt den Prozess des Ableitens um. Eine Funktion $ F $ heißt Stammfunktion von $ f $, wenn gilt:

$$F'(x) = f(x)$$

Man sucht also eine Funktion, deren Ableitung die gegebene Funktion ergibt. Während das Differenzieren ein eindeutiges Ergebnis liefert, gibt es zu jeder Funktion unendlich viele Stammfunktionen, die sich um eine beliebige Konstante unterscheiden. Ist $ F $ eine Stammfunktion von $ f $, so ist auch $ F(x) + C $ für jede Konstante $ C \in \mathbb{R} $ eine Stammfunktion, denn $ (F(x) + C)‘ = F'(x) = f(x) $.

Die Gesamtheit aller Stammfunktionen einer Funktion $ f $ wird als unbestimmtes Integral bezeichnet und mit dem Integralzeichen notiert:

$$\int f(x) \, dx = F(x) + C$$

Die Konstante $ C $ heißt Integrationskonstante und darf niemals vergessen werden. Sie repräsentiert die Tatsache, dass aus dem Funktionsverlauf allein (also aus der Ableitung) nicht auf den absoluten Funktionswert geschlossen werden kann – es fehlt die Information über den „Startpunkt“.

Grundlegende Stammfunktionen

Aus den bekannten Ableitungsregeln lassen sich die Stammfunktionen elementarer Funktionen direkt ablesen:

$ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ für $ n \neq -1 $ — die Umkehrung der Potenzregel
$ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C $ — der Sonderfall $ n = -1 $
$ \int e^x \, dx = e^x + C $
$ \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C $
$ \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C $
$ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C $ für $ a > 0, a \neq 1 $

Man kann jede dieser Formeln durch Ableiten der rechten Seite verifizieren – eine wichtige Kontrolle, die gerade beim Lernen empfohlen wird.

Rechenregeln für unbestimmte Integrale

Da das Integrieren die Umkehroperation zum Differenzieren ist, übertragen sich Summen- und Faktorregel:

Faktorregel:

$$\int c \cdot f(x) \, dx = c \cdot \int f(x) \, dx$$

Summenregel:

$$\int \left[f(x) + g(x)\right] dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$$

Mit diesen Regeln lassen sich Polynome und andere Summen gliedweise integrieren, genau wie beim Ableiten.

Beispiel: Für $ f(x) = 3x^2 – 4x + 5 $ ergibt sich:

$$\int (3x^2 – 4x + 5) \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} – 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = x^3 – 2x^2 + 5x + C$$

Stammfunktionen mit der Kettenregel (lineare Substitution)

Für Funktionen der Form $ f(ax + b) $ mit konstantem $ a \neq 0 $ und $ b $ gilt eine einfache Anpassung: Da die innere Ableitung $ a $ beim Differenzieren als Faktor auftritt (Kettenregel), muss man beim Integrieren durch $ a $ teilen:

$$\int f(ax + b) \, dx = \frac{1}{a} \cdot F(ax + b) + C$$

Beispiel: $ \int e^{3x+1} \, dx = \frac{1}{3} e^{3x+1} + C $, denn $ \left(\frac{1}{3} e^{3x+1}\right)‘ = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot e^{3x+1} = e^{3x+1} $.

Weiteres Beispiel: $ \int \cos(2x – \pi) \, dx = \frac{1}{2} \sin(2x – \pi) + C $.

Bestimmung der Integrationskonstante

Die Integrationskonstante $ C $ lässt sich bestimmen, wenn eine Zusatzbedingung gegeben ist, z. B. dass die Stammfunktion durch einen bestimmten Punkt gehen soll. In der Physik entspricht dies einer Anfangsbedingung.

Beispiel: Gesucht ist die Stammfunktion $ F $ von $ f(x) = 2x $ mit $ F(1) = 5 $. Es gilt $ F(x) = x^2 + C $. Einsetzen: $ 5 = 1 + C \Rightarrow C = 4 $. Also $ F(x) = x^2 + 4 $.

Unterschied: Integrieren ist schwerer als Ableiten

Während man mit den Ableitungsregeln jede elementare Funktion differenzieren kann, gibt es Funktionen, deren Stammfunktionen sich nicht durch elementare Funktionen ausdrücken lassen. Bekannte Beispiele sind $ \int e^{-x^2} dx $ (wichtig in der Stochastik) oder $ \int \frac{\sin(x)}{x} dx $. Für solche Integrale greift man auf numerische Verfahren oder spezielle Funktionen zurück.

Zusammenfassung

Die Stammfunktion ist die Umkehrung der Ableitung. Jede Funktion besitzt unendlich viele Stammfunktionen, die sich um eine additive Konstante unterscheiden. Das unbestimmte Integral fasst sie alle zusammen. Die grundlegenden Integrationsregeln – Faktor-, Summen- und lineare Substitutionsregel – ermöglichen das Integrieren vieler Standardfunktionen. Die Integrationskonstante wird durch Anfangsbedingungen festgelegt. In den folgenden Themen werden fortgeschrittene Integrationstechniken behandelt.