Differenzierbarkeit und Ableitungsregeln

Was bedeutet Differenzierbarkeit?

Eine Funktion $ f $ heißt differenzierbar an einer Stelle $ x_0 $, wenn der folgende Grenzwert existiert:

$$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) – f(x_0)}{h}$$

Dieser Grenzwert heißt Ableitung von $ f $ an der Stelle $ x_0 $ und beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion. Geometrisch entspricht die Ableitung der Steigung der Tangente an den Graphen von $ f $ im Punkt $ (x_0, f(x_0)) $. Man kann sich das so vorstellen: Man legt eine Sekante durch zwei Punkte des Graphen und lässt den zweiten Punkt immer näher an den ersten heranrücken. Der Grenzwert der Sekantensteigungen ist dann die Tangentensteigung. Dieser Übergang von der mittleren zur momentanen Änderungsrate ist der Kerngedanke der Differentialrechnung und eines der fundamentalsten Konzepte der gesamten Analysis.

Der Differenzenquotient als Ausgangspunkt

Der Differenzenquotient beschreibt die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion über ein Intervall:

$$\frac{f(x_0 + h) – f(x_0)}{h}$$

Er gibt die Steigung der Sekante durch die Punkte $ (x_0, f(x_0)) $ und $ (x_0 + h, f(x_0 + h)) $ an. Lässt man $ h $ gegen null gehen, nähert sich die Sekante der Tangente an, sofern der Grenzwert existiert. Diese Grenzwertbildung ist genau der Prozess, der aus dem Differenzenquotienten den Differentialquotienten macht.

Konkretes Beispiel: Für $ f(x) = x^2 $ an der Stelle $ x_0 = 3 $ berechnen wir den Differenzenquotienten:

$$\frac{(3+h)^2 – 9}{h} = \frac{9 + 6h + h^2 – 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + h$$

Für $ h \to 0 $ ergibt sich $ f'(3) = 6 $. Die Tangente an die Parabel im Punkt $ (3, 9) $ hat also die Steigung 6.

Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Ein zentraler Zusammenhang lautet: Ist eine Funktion an einer Stelle differenzierbar, so ist sie dort auch stetig. Die Umkehrung gilt jedoch nicht! Die Betragsfunktion $ f(x) = |x| $ ist an der Stelle $ x = 0 $ stetig, besitzt dort aber keine Ableitung, da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten nicht übereinstimmen. Von links ergibt sich der Wert $-1$, von rechts $+1$. Damit existiert kein eindeutiger Grenzwert, und die Funktion ist an dieser Stelle nicht differenzierbar. Geometrisch zeigt sich dies als „Knick“ im Graphen – an einem Knick gibt es keine eindeutige Tangente.

Auch Funktionen mit senkrechten Tangenten sind an der entsprechenden Stelle nicht differenzierbar. Ein Beispiel ist $ f(x) = \sqrt[3]{x} $ an der Stelle $ x = 0 $: Die Tangente steht dort senkrecht, die Steigung wäre „unendlich“, der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert also nicht als reelle Zahl.

Die wichtigsten Ableitungsregeln

Mithilfe einiger grundlegender Regeln lassen sich die Ableitungen der meisten Funktionen berechnen, ohne jedes Mal auf den Grenzwert des Differenzenquotienten zurückgreifen zu müssen.

Potenzregel

Für $ f(x) = x^n $ mit $ n \in \mathbb{R} $ gilt:

$$f'(x) = n \cdot x^{n-1}$$

Beispiele: Für $ f(x) = x^5 $ ergibt sich $ f'(x) = 5x^4 $. Auch für negative und gebrochene Exponenten funktioniert die Regel: Aus $ g(x) = x^{-2} = \frac{1}{x^2} $ folgt $ g'(x) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} $. Aus $ h(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} $ folgt $ h'(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $. Die Potenzregel ist die am häufigsten verwendete Ableitungsregel und bildet die Grundlage für das Differenzieren von Polynomfunktionen.

Faktorregel

Für $ f(x) = c \cdot g(x) $ mit einer Konstante $ c $ gilt:

$$f'(x) = c \cdot g'(x)$$

Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten. Zum Beispiel: $ f(x) = 3x^4 \Rightarrow f'(x) = 3 \cdot 4x^3 = 12x^3 $. Besonders nützlich ist dies in Kombination mit der Summenregel, um Polynome gliedweise abzuleiten.

Summenregel

Für $ f(x) = g(x) + h(x) $ gilt:

$$f'(x) = g'(x) + h'(x)$$

Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen. Damit lassen sich Polynomfunktionen gliedweise ableiten, was die Berechnung besonders übersichtlich macht.

Ausführliches Beispiel: Für $ f(x) = 2x^3 – 5x^2 + 4x – 7 $ ergibt sich durch gliedweises Ableiten: $ f'(x) = 6x^2 – 10x + 4 $. Die Konstante $-7$ fällt weg, da die Ableitung einer Konstanten stets null ist. Möchte man nun die Steigung der Tangente an der Stelle $ x = 1 $ wissen, setzt man ein: $ f'(1) = 6 – 10 + 4 = 0 $. Die Tangente verläuft hier waagerecht, was auf einen möglichen Extremwert hindeutet.

Ableitungen elementarer Funktionen

Neben den Potenzfunktionen gibt es weitere zentrale Ableitungen, die man kennen sollte:

$ f(x) = e^x \Rightarrow f'(x) = e^x $ — Die natürliche Exponentialfunktion ist die einzige Funktion, die gleich ihrer eigenen Ableitung ist. Diese Eigenschaft macht sie zum fundamentalen Baustein in der Modellierung von Wachstumsprozessen.
$ f(x) = \ln(x) \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x} $ — Definiert für $ x > 0 $. Bemerkenswert ist, dass die Ableitung einer nicht-algebraischen Funktion eine algebraische Funktion ergibt.
$ f(x) = \sin(x) \Rightarrow f'(x) = \cos(x) $
$ f(x) = \cos(x) \Rightarrow f'(x) = -\sin(x) $
$ f(x) = a^x \Rightarrow f'(x) = a^x \cdot \ln(a) $ für $ a > 0 $. Für $ a = e $ vereinfacht sich dies zu $ e^x $.

Anschauliches Beispiel: Bewegung eines Autos

Stellt man sich die Position eines Autos auf einer geraden Straße als Funktion $ s(t) $ der Zeit dar, so beschreibt $ s'(t) $ die momentane Geschwindigkeit. Ist etwa $ s(t) = 0{,}5t^2 + 3t $ (Position in Metern, Zeit in Sekunden), so ergibt sich $ s'(t) = t + 3 $. Zum Zeitpunkt $ t = 2 $ beträgt die Geschwindigkeit $ s'(2) = 5 $ m/s. Zum Zeitpunkt $ t = 0 $ ist die Geschwindigkeit $ s'(0) = 3 $ m/s – das Auto hatte also bereits eine Anfangsgeschwindigkeit. Die zunehmende Geschwindigkeit zeigt, dass das Auto beschleunigt. Die Ableitung liefert uns hier die physikalisch relevante Information, die aus dem Ortsverlauf allein nicht unmittelbar ablesbar wäre.

Zusammenfassung

Die Differenzierbarkeit einer Funktion bedeutet die Existenz einer eindeutigen Tangentensteigung, ausgedrückt durch den Grenzwert des Differenzenquotienten. Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit, aber nicht umgekehrt. Mit der Potenzregel, der Faktorregel und der Summenregel lassen sich bereits viele Funktionen effizient ableiten. Die Ableitungen der elementaren Funktionen – Exponential-, Logarithmus- und trigonometrische Funktionen – bilden weitere wichtige Bausteine. In den folgenden Themen werden die Produktregel, die Quotientenregel und die Kettenregel behandelt, die das Differenzieren zusammengesetzter Funktionen ermöglichen.