Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel

Warum brauchen wir weitere Ableitungsregeln?

Viele Funktionen bestehen nicht aus einfachen Summen von Potenzfunktionen, sondern sind als Produkte, Quotienten oder Verkettungen einfacherer Funktionen aufgebaut. Die Potenz-, Faktor- und Summenregel reichen für solche Fälle nicht aus. Man könnte versuchen, ein Produkt auszumultiplizieren und dann gliedweise abzuleiten – das ist bei $ f(x) = (x^2 + 1)(x^3 – x) $ noch möglich, aber bei $ f(x) = x^2 \cdot \sin(x) $ oder $ f(x) = e^x \cdot \ln(x) $ nicht mehr. Deshalb benötigen wir drei weitere fundamentale Regeln.

Die Produktregel

Sind $ u(x) $ und $ v(x) $ differenzierbare Funktionen, so ist auch ihr Produkt differenzierbar, und es gilt:

$$(u \cdot v)'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Man merkt sich kurz: „Ableitung des Ersten mal Zweites plus Erstes mal Ableitung des Zweiten.“ Ein häufiger Fehler ist, einfach beide Faktoren getrennt abzuleiten: $ (u \cdot v)‘ = u‘ \cdot v‘ $ – das ist falsch!

Beispiel 1: Sei $ f(x) = x^2 \cdot \sin(x) $. Mit $ u(x) = x^2 $ und $ v(x) = \sin(x) $ ergibt sich:

$$f'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x)$$

Beispiel 2: Für $ f(x) = (3x+1) \cdot e^x $ setzen wir $ u(x) = 3x+1 $ und $ v(x) = e^x $:

$$f'(x) = 3 \cdot e^x + (3x+1) \cdot e^x = (3x+4) \cdot e^x$$

Hier wurde $ e^x $ ausgeklammert – ein typisches und wichtiges Vorgehen, um das Ergebnis übersichtlich zu halten. Gerade bei Produkten mit der Exponentialfunktion lässt sich fast immer ein gemeinsamer Faktor $ e^{(\cdots)} $ ausklammern.

Beispiel 3: Für $ f(x) = x \cdot \ln(x) $ mit $ u = x $ und $ v = \ln(x) $:

$$f'(x) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$$

Die Quotientenregel

Ist $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $ mit $ v(x) \neq 0 $, so lautet die Ableitung:

$$f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) – u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}$$

Merkspruch: „NAZ – NZA durch N²“ (Nenner mal Ableitung Zähler minus Zähler mal Ableitung Nenner, geteilt durch Nenner zum Quadrat). Beachte das Minuszeichen – die Reihenfolge ist wichtig! Im Unterschied zur Produktregel ist die Quotientenregel nicht symmetrisch.

Beispiel: Für $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x – 3} $ mit $ u(x) = x^2 + 1 $, $ v(x) = x – 3 $ ergibt sich:

$$f'(x) = \frac{2x \cdot (x-3) – (x^2+1) \cdot 1}{(x-3)^2} = \frac{2x^2 – 6x – x^2 – 1}{(x-3)^2} = \frac{x^2 – 6x – 1}{(x-3)^2}$$

Die Quotientenregel ist besonders wichtig für gebrochenrationale Funktionen. Alternativ kann man den Quotienten als Produkt umschreiben: $ \frac{u}{v} = u \cdot v^{-1} $, und dann Produkt- und Kettenregel verwenden. Beide Wege führen zum selben Ergebnis; welcher bequemer ist, hängt von der konkreten Funktion ab.

Herleitung der tan-Ableitung: Die Tangensfunktion $ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} $ lässt sich mit der Quotientenregel ableiten:

$$(\tan x)‘ = \frac{\cos(x) \cdot \cos(x) – \sin(x) \cdot (-\sin(x))}{\cos^2(x)} = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)}$$

Die Kettenregel

Ist $ f(x) = g(h(x)) $ eine Verkettung zweier differenzierbarer Funktionen, so gilt:

$$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$$

Man nennt $ g $ die äußere Funktion und $ h $ die innere Funktion. Die Kettenregel besagt: „Äußere Ableitung, ausgewertet an der inneren Funktion, multipliziert mit der inneren Ableitung.“ Der zweite Faktor, die innere Ableitung, wird oft vergessen – ein sehr häufiger Fehler in Klausuren.

Beispiel 1: Für $ f(x) = (2x+5)^7 $ ist die äußere Funktion $ g(t) = t^7 $ und die innere $ h(x) = 2x+5 $:

$$f'(x) = 7(2x+5)^6 \cdot 2 = 14(2x+5)^6$$

Beispiel 2: Für $ f(x) = e^{3x^2} $ ist die äußere Funktion $ g(t) = e^t $ und die innere $ h(x) = 3x^2 $:

$$f'(x) = e^{3x^2} \cdot 6x$$

Beispiel 3: Für $ f(x) = \sin(x^3) $: äußere Funktion $ \sin $, innere Funktion $ x^3 $:

$$f'(x) = \cos(x^3) \cdot 3x^2$$

Beispiel 4: Für $ f(x) = \ln(\cos(x)) $: äußere Funktion $ \ln $, innere Funktion $ \cos(x) $:

$$f'(x) = \frac{1}{\cos(x)} \cdot (-\sin(x)) = -\tan(x)$$

Kombination der Regeln

In der Praxis treten häufig Funktionen auf, bei denen mehrere Regeln gleichzeitig angewendet werden müssen. Betrachten wir $ f(x) = x^2 \cdot e^{-x} $. Hier wenden wir zunächst die Produktregel an ($ u = x^2 $, $ v = e^{-x} $), wobei für die Ableitung von $ v(x) = e^{-x} $ die Kettenregel nötig ist ($ v'(x) = -e^{-x} $):

$$f'(x) = 2x \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(2x – x^2) = x(2-x) \cdot e^{-x}$$

Ein systematisches Vorgehen hilft: Zuerst die äußere Struktur der Funktion analysieren (Produkt? Quotient? Verkettung?), dann die passende Hauptregel wählen und bei Bedarf für einzelne Teile weitere Regeln anwenden.

Zusammenfassung

Die Produktregel, die Quotientenregel und die Kettenregel sind die drei zentralen Werkzeuge zum Differenzieren zusammengesetzter Funktionen. Zusammen mit den Grundregeln ermöglichen sie das Ableiten nahezu jeder schulrelevanten Funktion. In komplexeren Fällen werden die Regeln kombiniert, wobei sorgfältiges Arbeiten und das Erkennen der Funktionsstruktur entscheidend sind. Das Ausklammern gemeinsamer Faktoren und das Vereinfachen des Ergebnisses gehören ebenso zur sauberen Ableitungsberechnung wie die korrekte Anwendung der Regeln selbst.