Fläche zwischen zwei Funktionen

Problemstellung

In vielen Anwendungen interessiert nicht die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse, sondern die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen. Typische Aufgabenstellungen sind: Wie groß ist die Fläche, die von zwei Kurven eingeschlossen wird? Wie groß ist der Bereich, in dem die eine Funktion oberhalb der anderen verläuft?

Gegeben seien zwei stetige Funktionen $ f(x) $ und $ g(x) $. Die Fläche zwischen ihren Graphen auf dem Intervall $[a, b]$ berechnet sich als:

$$A = \int_a^b |f(x) – g(x)| \, dx$$

Der Betrag stellt sicher, dass die Fläche stets positiv gezählt wird, unabhängig davon, welche Funktion gerade oberhalb der anderen verläuft.

Vorgehensweise

Um die Fläche zwischen zwei Funktionen konkret zu berechnen, geht man in folgenden Schritten vor:

Schnittpunkte bestimmen: Löse $ f(x) = g(x) $ bzw. $ f(x) – g(x) = 0 $. Die Schnittpunkte begrenzen die Flächenstücke.
Reihenfolge klären: Prüfe in jedem Teilintervall, welche Funktion oberhalb liegt (durch Einsetzen eines Testpunkts).
Teilintegrale berechnen: Integriere in jedem Teilintervall die Differenz „obere minus untere Funktion“.
Flächen addieren: Summiere die (positiven) Teilflächen.

Beispiel 1: Parabel und Gerade

Berechne die Fläche zwischen $ f(x) = x^2 $ und $ g(x) = 2x $.

Schnittpunkte: $ x^2 = 2x \Leftrightarrow x^2 – 2x = 0 \Leftrightarrow x(x-2) = 0 \Rightarrow x = 0 $ und $ x = 2 $.

Reihenfolge: Für $ x = 1 $ ist $ f(1) = 1 $ und $ g(1) = 2 $, also $ g > f $ auf $(0, 2)$.

Berechnung:

$$A = \int_0^2 (2x – x^2) \, dx = \left[x^2 – \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 – \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$$

Die eingeschlossene Fläche beträgt $ \frac{4}{3} $ Flächeneinheiten.

Beispiel 2: Zwei Parabeln mit Vorzeichenwechsel

Berechne die Fläche zwischen $ f(x) = x^2 – 1 $ und $ g(x) = -x^2 + 1 $ auf dem Intervall $[-2, 2]$.

Schnittpunkte: $ x^2 – 1 = -x^2 + 1 \Leftrightarrow 2x^2 = 2 \Leftrightarrow x = \pm 1 $.

Drei Teilintervalle: $[-2, -1]$, $[-1, 1]$, $[1, 2]$. In $[-1, 1]$ ist $ g > f $ (Test: $ g(0) = 1 > f(0) = -1 $). In $[-2, -1]$ und $[1, 2]$ ist $ f > g $ (Test: $ f(2) = 3 > g(2) = -3 $).

$$A = \int_{-2}^{-1} (2x^2 – 2) \, dx + \int_{-1}^{1} (-2x^2 + 2) \, dx + \int_{1}^{2} (2x^2 – 2) \, dx$$

Durch Symmetrie sind das erste und dritte Integral gleich. Das mittlere Integral ergibt:

$$\int_{-1}^{1} (-2x^2 + 2) \, dx = \left[-\frac{2x^3}{3} + 2x\right]_{-1}^{1} = \left(-\frac{2}{3} + 2\right) – \left(\frac{2}{3} – 2\right) = \frac{8}{3}$$

Das äußere Integral ergibt jeweils:

$$\int_{1}^{2} (2x^2 – 2) \, dx = \left[\frac{2x^3}{3} – 2x\right]_{1}^{2} = \left(\frac{16}{3} – 4\right) – \left(\frac{2}{3} – 2\right) = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$$

Gesamtfläche: $ \frac{8}{3} + \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = 8 $.

Sonderfall: Fläche mit der x-Achse

Die Flächenberechnung zwischen einem Graphen und der x-Achse ist ein Sonderfall mit $ g(x) = 0 $. Die allgemeine Formel vereinfacht sich dann zu $ A = \int_a^b |f(x)| \, dx $. Das Vorgehen bleibt gleich: Nullstellen bestimmen, Teilintervalle bilden, Beträge addieren.

Häufige Fehlerquellen

Der häufigste Fehler ist, die Betragsbildung zu vergessen und einfach $ \int_a^b (f-g) \, dx $ zu berechnen. Wenn sich die Reihenfolge der Funktionen ändert, liefert dies ein falsches Ergebnis, weil positive und negative Anteile sich gegenseitig aufheben. Ein weiterer Fehler ist, die Schnittpunkte nicht vollständig zu bestimmen und dadurch Teilflächen zu übersehen.

Zusammenfassung

Die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnet man über das Integral der Betragsdifferenz. Der Schlüssel liegt im systematischen Vorgehen: Schnittpunkte bestimmen, Reihenfolge der Funktionen in jedem Teilintervall klären, Teilintegrale berechnen und die Beträge addieren. Dieses Verfahren verallgemeinert die Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse und ist eine der wichtigsten Anwendungen der Integralrechnung in der Oberstufenmathematik.