Mittelwert einer Funktion
Der Mittelwertbegriff in der Analysis
Der Mittelwert einer Funktion überträgt die Idee des arithmetischen Mittels von endlich vielen Werten auf eine stetige Funktion, die unendlich viele Werte annimmt. Statt die Summe aller Werte durch ihre Anzahl zu teilen, integriert man die Funktion und teilt durch die Intervalllänge. Der Integralsmittelwert von \( f \) auf dem Intervall \([a, b]\) ist definiert als:
$$\bar{f} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx$$
Anschaulich ist \( \bar{f} \) derjenige konstante Funktionswert, der über das Intervall \([a, b]\) dieselbe Fläche einschließen würde wie die Funktion \( f \) selbst. Man kann sich ein Rechteck mit der Breite \( (b-a) \) und der Höhe \( \bar{f} \) vorstellen, das flächengleich mit der Fläche unter dem Graphen von \( f \) ist.
Herleitung der Formel
Der Zusammenhang wird deutlich, wenn man die Definition des Integrals als Grenzwert von Riemannschen Summen betrachtet. Unterteilt man das Intervall \([a, b]\) in \( n \) gleich große Teilintervalle der Breite \( \Delta x = \frac{b-a}{n} \), so ist der Durchschnitt der Funktionswerte an den Stützstellen ungefähr:
$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) = \frac{1}{b-a} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \cdot \Delta x$$
Für \( n \to \infty \) konvergiert die rechte Seite gegen \( \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx \). Der Integralmittelwert ist also der Grenzwert des arithmetischen Mittels bei immer feinerer Unterteilung.
Beispiel 1: Lineares Wachstum
Für \( f(x) = 2x + 1 \) auf \([0, 4]\):
$$\bar{f} = \frac{1}{4-0} \int_0^4 (2x + 1) \, dx = \frac{1}{4} \left[x^2 + x\right]_0^4 = \frac{1}{4}(16 + 4) = 5$$
Probe: \( f(0) = 1 \) und \( f(4) = 9 \). Der Mittelwert \( 5 \) ist tatsächlich das arithmetische Mittel von Anfangs- und Endwert. Das ist kein Zufall: Für lineare Funktionen stimmt der Integralmittelwert immer mit dem Durchschnitt von Anfangs- und Endwert überein.
Beispiel 2: Quadratische Funktion
Für \( f(x) = x^2 \) auf \([0, 3]\):
$$\bar{f} = \frac{1}{3} \int_0^3 x^2 \, dx = \frac{1}{3} \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$$
Der Mittelwert \( 3 \) liegt deutlich unter dem Endwert \( f(3) = 9 \), weil die Funktion anfangs langsam wächst und erst gegen Ende steil ansteigt. Der Integralmittelwert „gewichtet“ die kleinen Werte am Anfang stärker als es ein einfaches Mittel aus \( f(0) \) und \( f(3) \) tun würde.
Beispiel 3: Trigonometrische Funktion
Für \( f(x) = \sin(x) \) auf \([0, \pi]\):
$$\bar{f} = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \sin(x) \, dx = \frac{1}{\pi} [-\cos(x)]_0^{\pi} = \frac{1}{\pi}(-\cos(\pi) + \cos(0)) = \frac{1}{\pi}(1 + 1) = \frac{2}{\pi} \approx 0{,}637$$
Der Mittelwert der Sinusfunktion über eine halbe Periode beträgt \( \frac{2}{\pi} \). Beachte: Über eine volle Periode \([0, 2\pi]\) wäre der Mittelwert null, da sich positive und negative Anteile aufheben.
Der Mittelwertsatz der Integralrechnung
Ein wichtiger Satz garantiert, dass der Mittelwert tatsächlich als Funktionswert angenommen wird. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung besagt: Ist \( f \) stetig auf \([a, b]\), so existiert mindestens ein \( \xi \in [a, b] \) mit:
$$f(\xi) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx = \bar{f}$$
Es gibt also immer (mindestens) eine Stelle im Intervall, an der die Funktion genau ihren Mittelwert annimmt. Im ersten Beispiel oben ist \( f(\xi) = 5 \), also \( 2\xi + 1 = 5 \), was \( \xi = 2 \) ergibt – die Mitte des Intervalls, was bei linearen Funktionen zu erwarten ist.
Anwendungen
Der Funktionsmittelwert hat zahlreiche praktische Anwendungen. In der Physik berechnet man die mittlere Geschwindigkeit eines Objekts als Integralmittelwert der Geschwindigkeitsfunktion. In der Elektrotechnik ist die Gleichrichtwert einer Wechselspannung der Mittelwert des Betrags der Spannungsfunktion. In der Wirtschaft beschreibt der Mittelwert einer Kostenfunktion die durchschnittlichen Kosten über einen Produktionszeitraum.
Besonders in der Elektrotechnik ist der Effektivwert (RMS-Wert) wichtig, der den quadratischen Mittelwert darstellt:
$$f_{\text{eff}} = \sqrt{\frac{1}{b-a} \int_a^b [f(x)]^2 \, dx}$$
Für eine Sinusspannung \( U(t) = U_0 \sin(\omega t) \) ergibt sich \( U_{\text{eff}} = \frac{U_0}{\sqrt{2}} \), was der gebräuchlichen Netzspannung entspricht.
Zusammenfassung
Der Integralmittelwert überträgt den Durchschnittsbegriff auf stetige Funktionen. Er berechnet sich als Integral geteilt durch Intervalllänge und entspricht der Höhe eines flächengleichen Rechtecks. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung garantiert, dass dieser Durchschnitt tatsächlich als Funktionswert angenommen wird. Anwendungen finden sich in der Physik, Elektrotechnik und Wirtschaft, wo mittlere Geschwindigkeiten, Effektivwerte und Durchschnittskosten durch den Integralmittelwert berechnet werden.