Geometrische Verteilung

D’geometrische Verteilung bschreibt, wia lang ma wartet, bis da erste Erfolg eintritt. Bei wiederholtn Bernoulli-Versuchen: \(X\) = Anzahl Versuche bis zum ersten Erfolg. A klassisches Wartezeit-Modell — im bayerischn Abitur bei typischen Anwendungen aus Technik und Alltag. Wenn du des Thema sicher beherrschst, bist du für de entsprechenden Abituraufgaben bestens vorbereitet. Des Thema ghört zum absoluten Kernstoff im Abitur und taucht in verschiedensten Aufgabntypen auf. A sicheres Vaständnis spart dir in da Prüfung w

Im bayerischn Abitur wead des Thema gern ois Teilaufgab in ana größern Fragestellung vapackt. Oft merkst du erst beim Lösen, dass du genau des Konzept brauchst. Drum: Ned bloß d’Formel lernen, sondern aa d’typischen Situationen, in denen se gebraucht wird.

ertvolle Zeit und bringt verlässliche Punkte.

Setup

Unendlich vui unabhängige Bernoulli-Versuche mit Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\). \(X\) = Versuchnummer vom erstn Erfolg.

Des is a wichtiger Baustein, den du dir gut einprägen solltest. Im Abitur taucht er regelmäßig auf, meistens

A guter Ansatz zum Lernen: Schau da alte Abituraufgabn an und identifizier, wo des Thema vorkommt. Dann rechnest du de Aufgabn durch und merkst schnell, wo’s bei dir no hapert.

ois Teilaufgab bei ana größeren Fragestellung.

\(X \in \{1, 2, 3, \ldots\}\).

Wahrscheinlichkeit

\(P(X = k) = (1 – p)^{k – 1} \cdot p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots\)

Des is a wichtiger Baustein, den du dir gut einprägen solltest. Im Abitur taucht er regelmäßig auf, meistens ois Teilaufgab bei ana größeren Fragestellung.

Interpr

De Definition klingt vielleicht abstrakt, aba se is d’Grundlag für olle weidern Rechenschritte. Im Abitur wead manchmoi direkt nach da Definition gfragt — dann brauchst du se wortwörtlich. Öfter aba muaßt du se anwenden, und dafür is ’s Vaständnis entscheidend.

etation: \(k – 1\) Misserfolg, dann 1 Erfolg.

Alternative Definition

Manche Büchern definiern \(Y\) = Anzahl Misserfolg vor’m erstn Erfolg. Dann \(Y \in \{0, 1, 2, \ldots\}\).

Des is a wichtiger Baustein, den du dir gut einprägen solltest. Im Ab

A guter Ansatz zum Lernen: Schau da alte Abituraufgabn an und identifizier, wo des Thema vorkommt. Dann rechnest du de Aufgabn durch und merkst schnell, wo’s bei dir no hapert.

itur taucht er regelmäßig auf, meistens ois Teilaufgab bei ana größeren Fragestellung.

\(P(Y = k) = (1-p)^k p\).

\(X = Y + 1\).

Erwartungswert

\(E(X) = 1/p\).

Des is a wichtiger Baustein, den du dir gut einprägen solltest. Im Abitur taucht er regelmäßig auf, meistens ois Teilaufg

A guter Ansatz zum Lernen: Schau da alte Abituraufgabn an und identifizier, wo des Thema vorkommt. Dann rechnest du de Aufgabn durch und merkst schnell, wo’s bei dir no hapert.

ab bei ana größeren Fragestellung.

\(E(Y) = (1-p)/p\).

Intuition: Bei \(p = 0{,}1\) muaß ma im Mittel 10 Versuch wartn.

Varianz

\(\text{Var}(X) = (1-p)/p^2\).

Des is a wichtiger Baustein, den du dir gut einprägen solltest. Im Abitur taucht er regelmäß

Des folgende Beispui is typisch für d’Art, wia’s im Abitur drankommt. Achte auf d’einzelnen Schritte und überleg bei jedem: Warum mach i genau des? Wia hätt i des selber gfunden?

ig auf, meistens ois Teilaufgab bei ana größeren Fragestellung.

\(\sigma(X) = \sqrt{1-p}/p\).

Beispui

\(p = 1/6\) (würfln auf Sechs). \(E(X) = 6\). Im Mittel 6 Würfe.

Schau ma des Beispui im Detail an und geh jeden Schritt einzeln durch, damit du des in da Klausur sicher nachvollziehen kannst.

\(\text{Var}(X) = (5/6)/(1/36) = 30\). \(\sigma \approx 5{,}48\).

\(P(X = 1) = 1/6 \approx 0{,}167\).

\(P(X = 5) = (5/6)^4 \cdot (1/6) \approx 0{,}0804\).

\(P(X = 10) = (5/6)^9 \cdot (1/6) \approx 0{,}0323\).

Visualisierung

ity=“0.7″/> Monotone Abnahme

Kumulative Wahrscheinlichkeit

\(P(X \leq k) = 1 – (1-p)^k\).

Des is a wichtiger Baustein, den du dir gut einprägen solltest. Im Abitur taucht er regelmäßig auf, meistens ois Teilaufgab bei ana größeren Fragestellung.

\(P(X > k) = (1-p)^k\).

Herleitung: \(P(X > k)\) = Wahrscheinlichkeit,

Am bestn lernst du Mathematik durch konkretes Nachrechnen. Nimm da an Stift, deck d’Lösung zua und probier’s selber. Erst wenn du ned weiterkommst, schau nach. Des aktive Tun is zehnmoi effektiver ois passives Lesen.

dass de erstn \(k\) Versuche olle Misserfolg.

Beispui

\(p = 1/6\). \(P(X > 10) = (5/6)^{10} \approx 0{,}162\). Mehr ois \(16\%\), noch 10 Misserfolg und erst \(k > 10\) da Erfolg.

Schau ma des Beispui im Detail an und geh jeden Schritt einzeln durch, damit du des in da Klausur sicher nachvollziehen kannst.

\(P(X \leq 6) =

1 – (5/6)^6 \approx 0{,}665\). Etwa \(66\%\), dass da Erfolg in de erstn 6 Versuche passiert.

Gedächtnislosigkeit

Besondere Eigenschaft: \(P(X > m + n | X > m) = P(X > n)\).

Intuition: „Wenn i schon 5 Misserfolg hatt, is d’Wahrscheinlichkeit, noch weitere 3 zu hamm, gleich wia wenn i frisch starten würd.“

Koa „Gerechtigkeit nach Pech“ — jeder Versuch is unab

hängig.

Beispui Gedächtnislosigkeit

Würfel auf Sechs. 10 Misserfolg hintereinand. „Jetz muaß endlich kemma!“ — Falsch. \(P(\text{Sechs beim 11. Wurf}) = 1/6\). Wia vorher.

Schau ma des Beispui im Detail an und geh jeden Schritt einzeln durch, damit du des in da Klausur sicher nachvollziehen kannst

Nennt ma aa „Gambler’s Fallacy“ — Trugschluss.

Awendung: Wartezeit

Defekter Teile in Produktion. \(p =\) Fehlerquote. \(X\) = Anzahl Teil bis zum erstn defekten.

Des is a wichtiger Baustein, den du dir gut einprägen solltest. Im Abitur taucht er regelmäßig auf, meistens ois Teilaufgab bei ana größeren Fragestellung.

Wenn

A guter Ansatz zum Lernen: Schau da alte Abituraufgabn an und identifizier, wo des Thema vorkommt. Dann rechnest du de Aufgabn durch und merkst schnell, wo’s bei dir no hapert.

\(p = 0{,}02\): \(E(X) = 50\).

Realistisch: Im Mittel alle 50 Teil a defekts.

Awendung: Qualitätssicherung

Sensor hod Fehlerquote \(p\). Wia lang bis zum erstn Fehla?

Des is a wichtiger Baustein, den du dir gut einprägen solltest. Im Abitur taucht er regelmäßig auf, meistens ois Teilaufgab bei ana größeren Frages

Des folgende Beispui is typisch für d’Art, wia’s im Abitur drankommt. Achte auf d’einzelnen Schritte und überleg bei jedem: Warum mach i genau des? Wia hätt i des selber gfunden?

tellung.

Mit geometrischer Verteilung: Wartezeitn im Test.

Beispui konkret

Ampel Rot mit Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}3\). \(X\) = Anzahl Ampeln bis zur erstn Rotn.

Schau ma des Beispui im Detail an und geh jeden Schritt einzeln durch, damit du des in da Klausur sicher nachvollziehen kannst.

\(E(X) = 1/0{,}3 \approx 3{,}33\).

\(P(X \leq 5) = 1 – (0{,}7)^5 \appr

Des Thema is oanes vo de Kernkompetenzen im Abitur. Du solltest es ned bloß vastehn, sondern routiniert anwenden können — so dass du in da Klausur koane wertvolle Zeit mit Überlegn vabringst, sondern d’Aufgab zügig abarbeitest.

ox 0{,}832\). 83% kemma die erstn 5 Ampeln zumind a rote.

Gegenwahrscheinlichkeit

Um d’Wahrscheinlichkeit für „mindestens 1 Erfolg in de erstn \(n\) Versuche“ zu berechnen:

Des is a wichtiger Baustein, den du dir gut einprägen solltest. Im Abitur taucht er regelmäßig auf, meistens ois Teilaufgab bei ana größeren Fragestellung.

\(P(X

\leq n) = 1 – (1-p)^n\).

Das is a Standardformel bei geometrischer Verteilung.

Umkehrung

Gegeben: Wahrscheinlichkeit für Erfolg innerhoib \(n\) Versuche. Suach \(p\).

Des is a wichtiger Baustein, den du dir gut einprägen solltest. Im Abitur taucht er regelmäßig auf, meistens ois Teilaufgab bei ana größeren Fragestellung.

\(P = 1 – (1-p)^n \Rightar

row (1-p)^n = 1 – P \Rightarrow 1 – p = (1-P)^{1/n}\).

\(p = 1 – (1-P)^{1/n}\).

Beispui Umkehrung

99% Wahrscheinlichkeit, dass Sechs in \(n\) Würfen. Wia viele Würfe?

Schau ma des Beispui im Detail an und geh jeden Schritt einzeln durch, damit du des in da Klausur sicher nachvollziehen kannst.

\(0{,}99 = 1 – (5/6)^n \Rightarrow (5/6)^n = 0{,}01 \Rightarrow n = \log(0{,}01)/\log(5

/6) \approx 25{,}26\).

Mindstens 26 Würfe.

Erwartungswert-Herleitung

\(E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k (1-p)^{k-1} p = p \sum_{k=1}^{\infty} k q^{k-1}\) mit \(q = 1-p\).

Des is a wichtiger Baustein, den du dir gut einprägen solltest. Im Abitur taucht er regelmäßig auf, meistens ois Teilaufgab bei ana größeren Fragestellung.<

A guter Ansatz zum Lernen: Schau da alte Abituraufgabn an und identifizier, wo des Thema vorkommt. Dann rechnest du de Aufgabn durch und merkst schnell, wo’s bei dir no hapert.

/p>

\(\sum k q^{k-1} = 1/(1-q)^2 = 1/p^2\).

\(E(X) = p \cdot 1/p^2 = 1/p\).

Verhältnis zur Binomial

Binomial: Feste Anzahl Versuche \(n\), variable Anzahl Erfolg.

Des is a wichtiger Baustein, den du dir gut einprägen solltest. Im Abitur taucht er regelmäßig auf, meistens ois Teilaufgab bei ana größeren Fragestellung.

Geometrisc

Fehla san koa Schande — se san d’bestn Lehrmeister. Jeder vo de folgenden Fehla passiert regelmäßig im Abitur, manchmoi sogar guten Schülern. Wenn du se jetzt durchgehst und vastehst, WARUM se passieren, wirst du se in da Prüfung vermeiden.

h: Variable Anzahl Versuch, genau 1 Erfolg am Schluss.

Unterschiedliche Fragestellungn!

Häufige Fehla

Fehla 1: Gedächtnislosigkeit ignoriern (Gambler’s Fallacy).

De folgenden Fehla san de häufigsten, de im Abitur passieren. Wenn du se kennst, vermeidst du se — und des bringt dir sichere Punkte.

Fehla 2: \(E(X) = p\) statt \(1/p\).

Fehla 3: Beginn bei 0 oder 1 vawechsln.

Fehla 4: \((1-p)^n\) und \((1-p)^{n-1}\) vawechsln.

Tipps für d’Klausur

Lies d’Aufgab genau und identifizier, welches Vafahrn verlangt wird. Schreib jeden Rechenschritt auf — Zwischenergebnisse gebn T

Aufgab zum Selbermachen

Nimm dir a Blatt Papier und rechne d’obigen Beispui no amoi selber durch — ohne ins Skript zu schaun. Erst wenn du fertig bist, vagleich. So merkst du, ob du’s wirklich vastanden hast oder bloß nachvollzogn.

Für Fortgeschrittene: Erfind dir a eigenes Beispui mit andere Zahlen und rechne ’s durch. Wenn du des kannst, hast du’s Thema wirklich drauf.

So holst du in da Klausur maximale Punkte

D’wichtigste Regl: Zeig dein Rechenweg! Im bayerischn Abitur gibt’s Punkte für den Weg, ned bloß fürs Ergebnis. A richtige Lösung ohne Rechenweg bringt weniger Punkte ois a falsche mit vollständigem, nachvollziehbarem Ansatz.

Wenn du mal ned weiterkommst: Schreib auf, was du versuchst hast und warum. Mach a Skizze. Stell d’relevante Formel auf. Setz ein, was du kennst. Oft reicht des scho für Teilpunkte — und manchmoi bringt di des Aufschreiben selber auf d’richtige Spur.

Zeitmanagement: Verlier di ned in ana Teilaufgab. Wenn du nach 5 Minuten ned weiterkommst, geh zur nächsten und komm später zruck.

lpunkte, aa wenn des Endergebnis falsch is. Mach am Schluss a Plausibilitätskontrolle: Stimmt d’Größenordnung? Passt des Vorzeichen? A kurzer Blick auf den GTR-Graph kann Wunder wirken.

Fazit

Geometrische Verteilung: Wartezeit bis erstn Erfolg. \(P(X = k) = (1-p)^{k-1} p\). \(E = 1/p\), \(\text{Var} = (1-p)/p^2\). Gedächtnislos — oane vo de definierenden Eigenschaften. Im Abitur bei Anwendungen oft präsent.