Signifikanzniveau und kritischer Bereich

Grundgedanke des Hypothesentests

Ein Hypothesentest (Signifikanztest) überprüft eine Vermutung über einen Parameter anhand von Stichprobendaten. Man formuliert eine Nullhypothese $ H_0 $ (die zu prüfende Annahme) und eine Alternativhypothese $ H_1 $ (die Gegenbehauptung). Die Entscheidung, ob $ H_0 $ beibehalten oder abgelehnt wird, basiert auf dem Stichprobenergebnis und dem gewählten Signifikanzniveau.

Das Signifikanzniveau $ \alpha $

Das Signifikanzniveau $ \alpha $ ist die maximal tolerierte Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese fälschlich abzulehnen (also einen Fehler 1. Art zu begehen). Typische Werte sind $ \alpha = 0{,}05 $ (5 %) oder $ \alpha = 0{,}01 $ (1 %). Ein kleineres $ \alpha $ bedeutet strengere Anforderungen an die Beweislast gegen $ H_0 $.

Anschaulich: Man ist bereit, mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von $ \alpha $ eine korrekte Nullhypothese abzulehnen. Bei $ \alpha = 5\% $ nimmt man in Kauf, dass man in 5 von 100 Testdurchführungen fälschlich $ H_0 $ verwirft, obwohl sie stimmt.

Der kritische Bereich (Ablehnungsbereich)

Der kritische Bereich $ K $ (auch Ablehnungsbereich oder Verwerfungsbereich) enthält alle Stichprobenergebnisse, bei denen $ H_0 $ abgelehnt wird. Er wird so gewählt, dass unter $ H_0 $ die Wahrscheinlichkeit, in den kritischen Bereich zu fallen, höchstens $ \alpha $ beträgt:

$$P(X \in K \mid H_0) \leq \alpha$$

Der komplementäre Bereich $ \bar{K} $ heißt Annahmebereich: Fällt das Ergebnis dorthin, wird $ H_0 $ beibehalten.

Beispiel: Einseitiger Test

Ein Hersteller behauptet, seine Münze sei fair ($ H_0: p = 0{,}5 $). Man vermutet, die Münze begünstige „Kopf“ ($ H_1: p > 0{,}5 $). Bei $ n = 100 $ Würfen und $ \alpha = 0{,}05 $:

Unter $ H_0 $: $ X \sim B(100, 0{,}5) $, $ \mu = 50 $, $ \sigma = 5 $. Der kritische Bereich liegt rechts: Man sucht das kleinste $ k $, für das $ P(X \geq k \mid p = 0{,}5) \leq 0{,}05 $. Mit der Normalapproximation: $ k \geq \mu + z_{0{,}95} \cdot \sigma = 50 + 1{,}645 \cdot 5 = 58{,}2 $, also $ k = 59 $. Kritischer Bereich: $ K = \{59, 60, \ldots, 100\} $.

Falls man z. B. 62 Köpfe beobachtet, liegt das Ergebnis im kritischen Bereich: $ H_0 $ wird abgelehnt. Bei 55 Köpfen nicht: $ H_0 $ wird beibehalten.

Entscheidungsregel

Die Entscheidungsregel fasst den Test zusammen:

Liegt die Testgröße (z. B. die Trefferzahl $ X $ oder der z-Wert) im kritischen Bereich → Ablehnung von $ H_0 $
Liegt sie im Annahmebereich → Beibehaltung von $ H_0 $

Beibehaltung von $ H_0 $ bedeutet nicht, dass $ H_0 $ bewiesen ist – nur, dass die Daten nicht ausreichen, um sie zu widerlegen. Man sagt daher korrekterweise „$ H_0 $ kann nicht abgelehnt werden“ statt „$ H_0 $ ist wahr“.

Zusammenhang mit dem p-Wert

Der p-Wert (nicht zu verwechseln mit dem Parameter $ p $) ist die Wahrscheinlichkeit, unter $ H_0 $ ein Ergebnis zu beobachten, das mindestens so extrem ist wie das tatsächlich beobachtete. Ist der p-Wert kleiner als $ \alpha $, wird $ H_0 $ abgelehnt. Der p-Wert gibt also an, wie „überraschend“ das Ergebnis unter $ H_0 $ ist.

Zusammenfassung

Das Signifikanzniveau $ \alpha $ begrenzt die Irrtumswahrscheinlichkeit bei der Ablehnung von $ H_0 $. Der kritische Bereich enthält die Ergebnisse, die zur Ablehnung führen, und wird so bestimmt, dass die Wahrscheinlichkeit unter $ H_0 $ höchstens $ \alpha $ beträgt. Die Entscheidung „ablehnen“ oder „beibehalten“ basiert auf der Lage des Stichprobenergebnisses relativ zum kritischen Bereich. Diese Konzepte bilden die Grundstruktur jedes Hypothesentests.