Standardnormalverteilung und z-Transformation

Die Standardnormalverteilung

Die Standardnormalverteilung ist die Normalverteilung mit Erwartungswert $ \mu = 0 $ und Standardabweichung $ \sigma = 1 $: $ Z \sim N(0, 1) $. Ihre Dichtefunktion ist:

$$\varphi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-z^2/2}$$

Ihre Verteilungsfunktion wird mit $ \Phi(z) = P(Z \leq z) $ bezeichnet. Tabellen der Standardnormalverteilung listen $ \Phi(z) $ für verschiedene $ z $-Werte auf. Die Standardnormalverteilung dient als Referenzverteilung: Jede allgemeine Normalverteilung lässt sich auf sie zurückführen.

Die z-Transformation (Standardisierung)

Ist $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $, so erhält man durch die z-Transformation

$$Z = \frac{X – \mu}{\sigma}$$

eine standardnormalverteilte Zufallsgröße $ Z \sim N(0, 1) $. Man subtrahiert den Erwartungswert (Zentrierung) und dividiert durch die Standardabweichung (Skalierung). Der z-Wert gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Erwartungswert entfernt liegt.

Beispiel: Die Körpergröße von Männern sei $ X \sim N(178, 7^2) $ cm. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Mann größer als 190 cm ist?

$$z = \frac{190 – 178}{7} \approx 1{,}71$$

$$P(X > 190) = P(Z > 1{,}71) = 1 – \Phi(1{,}71) \approx 1 – 0{,}9564 = 0{,}0436$$

Also sind etwa 4,4 % der Männer größer als 190 cm.

Symmetrie der Standardnormalverteilung

Da die Standardnormalverteilung symmetrisch um 0 ist, gilt:

$$\Phi(-z) = 1 – \Phi(z)$$

Diese Beziehung halbiert den Tabellenumfang: Man benötigt nur Werte für $ z \geq 0 $. Außerdem gilt $ P(-a \leq Z \leq a) = 2\Phi(a) – 1 $.

Berechnung von Intervallwahrscheinlichkeiten

Für $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $ und ein Intervall $ [a, b] $:

$$P(a \leq X \leq b) = \Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) – \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$$

Beispiel: Prüfungsergebnisse mit $ \mu = 60, \sigma = 12 $. Anteil mit Punktzahl zwischen 50 und 80:

$$P(50 \leq X \leq 80) = \Phi\left(\frac{80-60}{12}\right) – \Phi\left(\frac{50-60}{12}\right) = \Phi(1{,}67) – \Phi(-0{,}83) \approx 0{,}9525 – 0{,}2033 = 0{,}7492$$

Etwa 75 % der Prüflinge erzielen zwischen 50 und 80 Punkten.

Quantile der Standardnormalverteilung

Das $ \alpha $-Quantil $ z_\alpha $ ist der Wert, für den $ \Phi(z_\alpha) = \alpha $ gilt. Wichtige Quantile:

$ z_{0{,}975} = 1{,}96 $ → für 95-%-Konfidenzintervalle
$ z_{0{,}995} = 2{,}576 $ → für 99-%-Konfidenzintervalle
$ z_{0{,}95} = 1{,}645 $ → für einseitige Tests auf 5-%-Niveau

Diese Quantile tauchen bei Hypothesentests und Konfidenzintervallen ständig auf und sollten bekannt sein.

Zusammenfassung

Die Standardnormalverteilung $ N(0,1) $ ist die zentrale Referenzverteilung der Stochastik. Durch die z-Transformation $ Z = \frac{X-\mu}{\sigma} $ wird jede Normalverteilung auf sie zurückgeführt. Die Symmetrie $ \Phi(-z) = 1 – \Phi(z) $ vereinfacht Berechnungen. Die Quantile $ z_\alpha $ sind die Grundlage für Konfidenzintervalle und Hypothesentests. Die Tabelle der Standardnormalverteilung (oder der GTR) ist das zentrale Rechenhilfsmittel.