Normalverteilung: Dichte und Verteilungsfunktion

Die Gaußsche Glockenkurve

Die Normalverteilung ist die wichtigste stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Ihre Dichtefunktion hat die charakteristische Glockenform und wird durch zwei Parameter bestimmt – den Erwartungswert $ \mu $ (Lage des Maximums) und die Standardabweichung $ \sigma $ (Breite der Glocke):

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

Der Graph ist symmetrisch bezüglich $ x = \mu $, hat dort sein Maximum und fällt zu beiden Seiten exponentiell ab. Je kleiner $ \sigma $, desto schmaler und höher ist die Glocke; je größer $ \sigma $, desto breiter und flacher. Man schreibt $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $.

Eigenschaften der Dichtefunktion

Symmetrisch um $ \mu $: $ f(\mu + x) = f(\mu – x) $
Maximum bei $ x = \mu $ mit Wert $ \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} $
Wendepunkte bei $ x = \mu \pm \sigma $
Gesamtfläche unter der Kurve: $ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1 $
Die Funktion ist für alle $ x \in \mathbb{R} $ positiv, wird aber für große $ |x-\mu| $ sehr schnell sehr klein

Die Verteilungsfunktion $ \Phi $

Die Verteilungsfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsgröße höchstens den Wert $ x $ annimmt:

$$F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$$

Da die Dichtefunktion keine elementare Stammfunktion besitzt, kann man $ F(x) $ nicht in geschlossener Form angeben. Die Werte werden über Tabellen oder den GTR bestimmt. Die Verteilungsfunktion ist eine stetig steigende S-Kurve (Sigmoidkurve) mit $ F(-\infty) = 0 $ und $ F(+\infty) = 1 $.

Die Sigma-Regeln

Für die Normalverteilung gelten die exakten Sigma-Regeln:

$ P(\mu – \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0{,}6827 $ (68,3 %)
$ P(\mu – 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0{,}9545 $ (95,4 %)
$ P(\mu – 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0{,}9973 $ (99,7 %)

Die „68-95-99,7-Regel“ gibt einen schnellen Überblick über die Verteilungsbreite und wird in der Praxis häufig zur Abschätzung verwendet.

Warum ist die Normalverteilung so wichtig?

Die Normalverteilung tritt in der Natur und Technik außerordentlich häufig auf. Dies erklärt der Zentrale Grenzwertsatz: Wenn eine Größe als Summe vieler unabhängiger, kleiner Zufallseinflüsse entsteht, ist sie näherungsweise normalverteilt – unabhängig von der Verteilung der Einzeleinflüsse. Körpergrößen, Messfehler, Prüfungsergebnisse, Produktionsmaße und viele andere Größen folgen daher einer Normalverteilung. Auch die Binomialverteilung lässt sich für große $ n $ durch eine Normalverteilung approximieren.

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Für eine normalverteilte Zufallsgröße $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $ gilt:

$$P(a \leq X \leq b) = F(b) – F(a)$$

Auf dem GTR stehen Funktionen wie normalcdf($ a, b, \mu, \sigma $) zur Verfügung. Für Standardtabellen transformiert man zunächst auf die Standardnormalverteilung (nächstes Thema).

Zusammenfassung

Die Normalverteilung $ N(\mu, \sigma^2) $ ist durch ihre glockenförmige Dichte und die Parameter $ \mu $ (Erwartungswert) und $ \sigma $ (Standardabweichung) vollständig bestimmt. Die Sigma-Regeln geben den Anteil in den Intervallen $ \mu \pm k\sigma $ an. Der Zentrale Grenzwertsatz erklärt die ubiquitäre Bedeutung der Normalverteilung: Summen vieler unabhängiger Einflüsse sind näherungsweise normalverteilt. Die Verteilungsfunktion wird numerisch über Tabellen oder den GTR ausgewertet.