Binomialverteilung \( B(n, p) \): Definition und Anwendung
Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Kette
Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ausgängen: „Erfolg“ (mit Wahrscheinlichkeit \( p \)) und „Misserfolg“ (mit Wahrscheinlichkeit \( q = 1 – p \)). Typische Beispiele: Münzwurf (Kopf/Zahl), Qualitätsprüfung (intakt/defekt), medizinischer Test (positiv/negativ).
Wird ein Bernoulli-Experiment \( n \)-mal unabhängig wiederholt, spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge \( n \). Die Zufallsgröße \( X \), die die Anzahl der Erfolge zählt, heißt binomialverteilt mit Parametern \( n \) und \( p \): \( X \sim B(n, p) \).
Die Binomialformel
Die Wahrscheinlichkeit, in \( n \) Versuchen genau \( k \) Erfolge zu erzielen, lautet:
$$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$
Dabei ist \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) der Binomialkoeffizient, der die Anzahl der Möglichkeiten angibt, \( k \) Erfolge auf \( n \) Versuche zu verteilen. Der Faktor \( p^k \) ist die Wahrscheinlichkeit für \( k \) Erfolge, und \( (1-p)^{n-k} \) die Wahrscheinlichkeit für \( n-k \) Misserfolge.
Beispiel: Ein fairer Würfel wird 4-mal geworfen. Die Wahrscheinlichkeit für genau zweimal die 6 (Erfolg = „6″, \( p = \frac{1}{6} \)):
$$P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 6 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{25}{36} = \frac{150}{1296} \approx 0{,}116$$
Voraussetzungen
Die Binomialverteilung setzt drei Bedingungen voraus, die man stets prüfen muss:
- Feste Anzahl \( n \) von Versuchen
- Konstante Erfolgswahrscheinlichkeit \( p \) bei jedem Versuch
- Unabhängigkeit der einzelnen Versuche
Beim Ziehen ohne Zurücklegen ist die dritte Bedingung streng genommen verletzt (die Wahrscheinlichkeit ändert sich mit jedem Zug). Ist die Grundgesamtheit aber viel größer als die Stichprobe, kann man die Binomialverteilung dennoch als gute Näherung verwenden.
Typische Anwendungsbeispiele
- Anzahl der Sechsen bei 10 Würfen: \( X \sim B(10, \frac{1}{6}) \)
- Anzahl defekter Teile in einer Stichprobe von 50 bei 3 % Ausschussrate: \( X \sim B(50, 0{,}03) \)
- Anzahl der Treffer bei 20 Freiwürfen mit 80 % Quote: \( X \sim B(20, 0{,}8) \)
- Anzahl der Mädchen unter 5 Neugeborenen: \( X \sim B(5, 0{,}5) \) (näherungsweise)
Typische Fragestellungen
Die Binomialverteilung beantwortet verschiedene Fragetypen:
- \( P(X = k) \): Wahrscheinlichkeit für genau \( k \) Erfolge
- \( P(X \leq k) \): Wahrscheinlichkeit für höchstens \( k \) Erfolge (kumuliert)
- \( P(X \geq k) = 1 – P(X \leq k-1) \): Wahrscheinlichkeit für mindestens \( k \) Erfolge
- \( P(k_1 \leq X \leq k_2) = P(X \leq k_2) – P(X \leq k_1-1) \): Wahrscheinlichkeit für eine Spanne
Berechnung in der Praxis
Für kleine Werte von \( n \) kann man die Formel direkt auswerten. Für größere \( n \) verwendet man Tabellen der kumulierten Binomialverteilung oder den GTR. Die meisten grafischen Taschenrechner haben eingebaute Funktionen wie binompdf(\( n, p, k \)) für \( P(X = k) \) und binomcdf(\( n, p, k \)) für \( P(X \leq k) \).
Zusammenfassung
Die Binomialverteilung \( B(n, p) \) beschreibt die Anzahl der Erfolge in \( n \) unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit \( p \). Die Einzelwahrscheinlichkeiten berechnen sich über die Binomialformel mit Binomialkoeffizienten. Die drei Voraussetzungen – feste Versuchszahl, konstante Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit – müssen stets geprüft werden. Die Binomialverteilung ist das zentrale diskrete Verteilungsmodell der Schulstochastik und Grundlage für Hypothesentests und Konfidenzintervalle.