Standardabweichung und ihre Interpretation

Von der Varianz zur Standardabweichung

Die Standardabweichung $ \sigma $ ist die Quadratwurzel der Varianz:

$$\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)} = \sqrt{E[(X – \mu)^2]}$$

Der Vorteil gegenüber der Varianz: Die Standardabweichung hat dieselbe Einheit wie die Zufallsgröße selbst. Misst $ X $ zum Beispiel Längen in Zentimetern, so ist $ \sigma $ ebenfalls in Zentimetern angegeben, während $ \sigma^2 $ in Quadratzentimetern gemessen wird. Das macht die Standardabweichung direkt interpretierbar als „typische Abweichung vom Erwartungswert“.

Interpretation der Standardabweichung

Die Standardabweichung beschreibt, wie weit die Werte einer Zufallsgröße typischerweise vom Erwartungswert abweichen. Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Werte eng um den Erwartungswert konzentriert sind; eine große Standardabweichung zeigt starke Streuung an.

Beispiel: Beim fairen Würfel ist $ \mu = 3{,}5 $ und $ \sigma = \sqrt{\frac{35}{12}} \approx 1{,}71 $. Die Augenzahl weicht also typischerweise um etwa 1,7 vom Erwartungswert ab. Zum Vergleich: Ein Würfel mit nur den Zahlen 3 und 4 (jeweils Wahrscheinlichkeit $ \frac{1}{2} $) hätte $ \mu = 3{,}5 $, aber $ \sigma = 0{,}5 $ – viel geringere Streuung bei gleichem Erwartungswert.

Die Sigma-Regeln

Für viele Verteilungen (insbesondere die Normalverteilung) gelten die Sigma-Regeln, die angeben, welcher Anteil der Werte in bestimmten Intervallen um den Erwartungswert liegt:

$ P(\mu – \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 68{,}3\% $ — etwa zwei Drittel der Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung
$ P(\mu – 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 95{,}4\% $ — fast alle Werte liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen
$ P(\mu – 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 99{,}7\% $ — nahezu alle Werte innerhalb von drei Standardabweichungen

Diese Regeln gelten exakt für die Normalverteilung und näherungsweise für viele andere Verteilungen, insbesondere für die Binomialverteilung bei großem $ n $.

Tschebyschew-Ungleichung

Für jede Zufallsgröße (unabhängig von der Verteilungsform) gilt die Tschebyschew-Ungleichung:

$$P(|X – \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$$

Für $ k = 2 $: Höchstens 25 % der Werte liegen mehr als 2 Standardabweichungen vom Erwartungswert entfernt. Für $ k = 3 $: Höchstens ca. 11 %. Diese Abschätzung ist schwächer als die Sigma-Regeln, gilt dafür aber ohne jede Voraussetzung an die Verteilungsform.

Anwendung: Qualitätskontrolle

In der Qualitätskontrolle wird die Standardabweichung als Maß für die Prozessfähigkeit verwendet. Liegt die Streuung eines Produktionsprozesses (z. B. die Länge produzierter Bolzen) innerhalb enger Grenzen, ist der Prozess „fähig“. Die Sigma-Regeln helfen einzuschätzen, wie viele Produkte außerhalb der Toleranzgrenzen liegen. Das Konzept „Six Sigma“ in der Industrie strebt an, dass die Toleranzgrenzen mindestens 6 Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt liegen – was einer Fehlerrate von nur 3,4 pro Million entspricht.

Standardabweichung bei linearen Transformationen

Für $ Y = aX + b $ gilt:

$$\sigma_Y = |a| \cdot \sigma_X$$

Die additive Konstante beeinflusst die Streuung nicht (Verschiebung verändert die Breite nicht), aber ein Skalierungsfaktor wirkt sich linear auf die Standardabweichung aus (im Gegensatz zur Varianz, wo er quadratisch eingeht).

Zusammenfassung

Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz und hat dieselbe Einheit wie die Zufallsgröße. Sie beschreibt die typische Abweichung vom Erwartungswert. Die Sigma-Regeln geben für normalverteilte Größen an, welcher Anteil in $ 1\sigma $-, $ 2\sigma $- und $ 3\sigma $-Intervallen liegt. Die Tschebyschew-Ungleichung liefert universelle, wenn auch schwächere Schranken. In der Praxis dient die Standardabweichung als Streuungs- und Risikomaß in Qualitätskontrolle, Finanzwesen und Statistik.