Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsgrößen
Der Erwartungswert
Der Erwartungswert \( E(X) \) (auch \( \mu \) geschrieben) einer diskreten Zufallsgröße \( X \) ist der gewichtete Mittelwert aller möglichen Werte, gewichtet mit ihren Wahrscheinlichkeiten:
$$E(X) = \mu = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)$$
Der Erwartungswert gibt an, welchen Wert man „im Durchschnitt“ bei vielen Wiederholungen des Experiments erwarten würde. Er muss kein tatsächlich möglicher Wert der Zufallsgröße sein – der Erwartungswert eines fairen Würfels ist 3,5, obwohl dieser Wert nie gewürfelt werden kann.
Beispiel 1: Fairer Würfel: \( E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + \ldots + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5 \).
Beispiel 2: Bei einem Glücksspiel gewinnt man mit Wahrscheinlichkeit \( \frac{1}{10} \) den Betrag 50 € und verliert mit \( \frac{9}{10} \) den Einsatz 10 €. Erwartungswert: \( E(X) = 50 \cdot 0{,}1 + (-10) \cdot 0{,}9 = 5 – 9 = -4 \) Euro. Im Durchschnitt verliert man 4 € pro Spiel – das Spiel ist unfair.
Rechenregeln für den Erwartungswert
Der Erwartungswert ist linear: Für Konstanten \( a, b \) gilt:
$$E(aX + b) = a \cdot E(X) + b$$
Und für die Summe zweier Zufallsgrößen (stets, auch bei Abhängigkeit):
$$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$$
Die Varianz
Die Varianz \( \text{Var}(X) \) (auch \( \sigma^2 \) geschrieben) misst die Streuung der Zufallsgröße um ihren Erwartungswert:
$$\text{Var}(X) = \sigma^2 = E\left[(X – \mu)^2\right] = \sum_{i} (x_i – \mu)^2 \cdot P(X = x_i)$$
Man berechnet für jeden Wert die quadratische Abweichung vom Erwartungswert und gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit. Die Varianz ist stets nicht-negativ und null genau dann, wenn \( X \) mit Sicherheit den Wert \( \mu \) annimmt.
Die äquivalente Verschiebungsformel ist oft rechnerisch einfacher:
$$\text{Var}(X) = E(X^2) – [E(X)]^2$$
Beispiel: Fairer Würfel: \( E(X^2) = \frac{1}{6}(1+4+9+16+25+36) = \frac{91}{6} \approx 15{,}17 \). \( \text{Var}(X) = \frac{91}{6} – \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{91}{6} – \frac{49}{4} = \frac{182-147}{12} = \frac{35}{12} \approx 2{,}92 \).
Rechenregeln für die Varianz
$$\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$$
Die additive Konstante \( b \) hat keinen Einfluss auf die Streuung (Verschiebung ändert die Streuung nicht), aber der Faktor \( a \) geht quadratisch ein. Für unabhängige Zufallsgrößen gilt: \( \text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) \). Bei Abhängigkeit tritt ein zusätzlicher Kovarianzterm auf.
Bedeutung in Anwendungen
Der Erwartungswert gibt den „fairen Preis“ eines Spiels oder einer Versicherung an. Die Varianz quantifiziert das Risiko: Eine hohe Varianz bedeutet große Schwankungen, eine niedrige Varianz bedeutet, dass die Ergebnisse eng um den Erwartungswert konzentriert sind. In der Finanzwelt wird die Standardabweichung (nächstes Thema) als Risikomaß verwendet.
Zusammenfassung
Der Erwartungswert ist der wahrscheinlichkeitsgewichtete Mittelwert einer Zufallsgröße und beschreibt ihr Zentrum. Die Varianz misst die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert und quantifiziert die Streuung. Beide Kenngrößen sind linear bzw. quadratisch transformierbar und additiv für unabhängige Zufallsgrößen. Sie bilden die Grundlage für die Beurteilung von Spielen, Risiken und statistischen Schätzverfahren.