Voluma und Obafläch vo Prismen, Pyramiden, Kegeln und Kugln

D’Berechnung vo Voluma und Obafläch räumlicha Körper gheert zu de Grundthemen vo da Raumgeometrie. Jeda Körper hod seine eigene Formeln, aba de losst si auf zwoa Grundprinzipien zruckführen: „Grundfläch moi Höh“ bei Prismen und Zylindern, und „a Drittl davo“ bei Pyramiden und Kegeln. Im bayerischn Abitur tauchan de Formeln vor oim in Awendungsaufgabn auf. Mit sicherm Wissn vo de Formeln löst ma vui praktische Problem aus Technik und Aitog.

Prisma

A Prisma hod zwoa parallele, kongruente Grundflächn und rechteckige Seitenflächn. D’Seitenkantn stehen senkrecht auf de Grundflächn (bei geradem Prisma).

Voluma: \(V = G \cdot h\) mit Grundfläch \(G\) und Höh \(h\).

Obafläch: \(O = 2G + M\) mit Mantlfläch \(M = U \cdot h\) (Umfang vo da Grundfläch moi Höh).

Beispui: Quader mit Seitn \(3, 4, 5\) cm. Wenn \(3 \times 4\) d’Grundfläch is: \(V = 12 \cdot 5 = 60\) cm³. \(O = 2 \cdot 12 + (3+4+3+4) \cdot 5 = 24 + 70 = 94\) cm².

Zylinder

A Zylinder is a „Kreisprisma“: Grundfläch is a Kreis.

Voluma: \(V = \pi r^2 h\).

Obafläch: \(O = 2\pi r^2 + 2\pi r h\) (zwoa Kreisflächn + Mantl).

Da Mantl is a Rechteck mit Broatn \(2\pi r\) und Höh \(h\).

Beispui: Zylinder mit \(r = 5\), \(h = 10\). \(V = 25\pi \cdot 10 = 250\pi \approx 785{,}4\). \(O = 50\pi + 100\pi = 150\pi \approx 471{,}2\).

Pyramide

A Pyramide hod a polygonale Grundfläch und an Spitz. Olle Seitenflächn san Dreieck, de in da Spitz zammaufm.

Voluma: \(V = \frac{1}{3} G \cdot h\).

Des „ein Drittl“ is intuitiv übarraschand, aba mathematisch exakt. Drei gleich große Pyramiden fülln genau a Prisma mit gleicher Grundfläch und Höh.

Obafläch: Grundfläch plus Summ vo de Seitenflächn.

Quadratische Pyramide

Speziella Foi: Grundfläch is a Quadrat mit Seitnläng \(a\), Höh \(h\).

Voluma: \(V = \frac{1}{3} a^2 h\).

Seitenflächn: viere gleichschenklige Dreieck. Mantellinie \(s = \sqrt{h^2 + (a/2)^2}\). Seitenflächninhoit: \(\frac{1}{2} a s\).

Obafläch: \(O = a^2 + 4 \cdot \frac{1}{2} a s = a^2 + 2as\).

Kegel

A Kegel is a „Kreispyramide“: Grundfläch is a Kreis.

Voluma: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\).

Mantellinie: \(s = \sqrt{r^2 + h^2}\).

Mantlfläch: \(M = \pi r s\).

Obafläch: \(O = \pi r^2 + \pi r s\).

Beispui: Kegel mit \(r = 3\), \(h = 4\). Mantellinie \(s = 5\). \(V = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi \approx 37{,}7\). \(O = 9\pi + 15\pi = 24\pi \approx 75{,}4\).

Kugel

A Kugel is da ideaiste Körper im Raum. Olle Punkt auf ihrer Obafläch san gleich weit vom Mittelpunkt entfernt.

Voluma: \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\).

Obafläch: \(O = 4\pi r^2\).

Merkhüife: D’Obafläch vo ana Kugl is genau so groß wia d’Mantlfläch vom umschreibnden Zylinder (Satz vo Archimedes).

Beispui: Kugl mit \(r = 5\). \(V = \frac{4}{3} \pi \cdot 125 \approx 523{,}6\). \(O = 100\pi \approx 314{,}2\).

Visualisierung

Zammhäng zwischn Körpern

A Zylinder, a Kugel und a Kegel mit gleichem Radius und mit Höh \(2r\) (Kugl passt exakt in Zylinder, Kegl hod d’gleiche Höh) hamm d’Volumsvahältnisse \(3 : 2 : 1\).

Herleitung: \(V_{\text{Zyl}} = \pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3\). \(V_{\text{Kugl}} = \frac{4}{3}\pi r^3\). \(V_{\text{Kegl}} = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot 2r = \frac{2}{3}\pi r^3\). Vahältnis: \(2 : 4/3 : 2/3 = 6 : 4 : 2 = 3 : 2 : 1\). Satz vo Archimedes.

Awendung: Wassertank

A zylindrischa Tank hod an Durchmessa vo \(2\) m und a Höh vo \(5\) m. Wia vui Liter Wassa passn rein?

\(r = 1\) m. \(V = \pi \cdot 1 \cdot 5 = 5\pi \approx 15{,}7\) m³ \(= 15700\) l.

Awendung: Eistüte

A Eistüte hod d’Form vo am Kegl mit Durchmessa \(6\) cm und Höh \(12\) cm. Wia vui Voluma Eis passt rein?

\(r = 3\). \(V = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 12 = 36\pi \approx 113\) cm³.

Awendung: Obafläch ana Kugl

A Fußball hod an Umfang vo \(70\) cm. Bstimm Radius und Obafläch.

\(70 = 2\pi r \Rightarrow r = 35/\pi \approx 11{,}14\) cm. \(O = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot (35/\pi)^2 = 4900/\pi \approx 1560\) cm².

Pyramidenstumpf

A Pyramidenstumpf entsteht, wenn ma de obere Spitz vo da Pyramide obschneidt. Sei Voluma: \(V = \frac{h}{3} (G_1 + G_2 + \sqrt{G_1 G_2})\) mit de zwoa parallelen Grundflächn \(G_1\) und \(G_2\) und Höh \(h\).

Analog bei Kegelstumpf mit Kreisen: \(V = \frac{\pi h}{3} (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)\).

Kugelausschnitte

A Kugelkalotte is a Teil vo da Kugel, der durch a Ebene abgschnittn wead. D’Obafläch: \(O_{\text{Kal}} = 2\pi r h\) mit Höh vo da Kalotte \(h\). (Oschaulich: „D’Kalotte hod d’gleiche Obafläch wia a Zylinderstück mit Höh \(h\) und Radius \(r\).“)

Voluma: \(V_{\text{Kal}} = \frac{\pi h^2}{3}(3r – h)\).

Einheiten

Voluma wead in Kubikeinheitn gmessn: cm³, m³, dm³. \(1\) dm³ \(= 1\) Liter. \(1\) m³ \(= 1000\) l.

Obafläch in Quadrateinheitn: cm², m², etc.

Optimierung: Doseninhoit

A Dose mit festem Voluma \(V\) soi mit möglichst wenig Material vapackt wean. Welche Proportionen?

\(V = \pi r^2 h\), oiso \(h = V/(\pi r^2)\). Obafläch: \(O(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + 2V/r\). Ableitung \(O'(r) = 4\pi r – 2V/r^2 = 0 \Rightarrow r^3 = V/(2\pi) \Rightarrow r = (V/(2\pi))^{1/3}\). Mit \(h = V/(\pi r^2)\) foigt \(h = 2r\). Dose hod Durchmessa = Höh.

Des is a klassische Abituraufgab zum Optimieren.

Kegelachsschnitt

Da Achsschnitt vo am Kegl is a gleichschenkligs Dreieck mit Grundseitn \(2r\) und Höh \(h\). In da Analysis interpretiert ma an Kegl aa ois Rotationskörper um \(y\)-Achsn.

Integration und Rotationskörper

Rotiert ma a Funktion \(f(x)\) um d‘\(x\)-Achse, entsteht a Rotationskörper mit Voluma \(V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx\). Des is d’Formel für Rotationsvoluma aus da Analysis. Mit ihr ko ma aa d’Volumformeln für Kegl und Kugel herleitn.

Beispui Kugel: Kreisgleichung \(y = \sqrt{r^2 – x^2}\). \(V = \pi \int_{-r}^{r} (r^2 – x^2) dx = \pi [r^2 x – x^3/3]_{-r}^{r} = \pi (r^3 – r^3/3 + r^3 – r^3/3) = \pi (4r^3/3) = \frac{4}{3}\pi r^3\). Passt.

Häufige Fehla

Fehla 1: Bei Pyramide/Kegl den Faktor \(1/3\) vagessn.

Fehla 2: Mantellinie mit Höh vawechsln.

Fehla 3: Bei Kugl \(4\pi r^3\) statt \(\frac{4}{3}\pi r^3\) für Voluma.

Fehla 4: Voluma- und Flächnformeln vatauschn.

Fazit

D’Volumformeln: Prisma/Zylinder \(V = Gh\), Pyramide/Kegl \(V = Gh/3\), Kugl \(V = 4\pi r^3/3\). D’Obaflächnformeln kimman aus Zerlegung in Grundfläch und Mantl. Mit de Formeln löst ma Aufgabn aus Architektur, Ingenieurwesn und Natur. D’Zammhäng zwischn Körpern (Faktor \(3:2:1\) bei Zyl-Kugl-Kegl) hüifn bei plausibler Fehleranalyse. Im Abitur san de Formeln Standardwissn, und in Optimierungsaufgabn wead oft a Voluma oder Obafläch minimiert.