Vaknüpfung vo Funktionen: Summ, Produkt, Komposition

Aus zwoa oder mehr Funktionen lassen si neie Funktionen büdn, indem ma se addiert, moirechnet, teilt oder ineinand einsetzt. De Vaknüpfunga san ned bloß a Werkzeig, um komplexe Funktionen zum bschreibn, sondan aa a Voraussetzung für ’s Vaständnis vo Ableitungsregln wia Produktregl, Quotientenregl und Kettenregl. Im bayerischn Abitur wean Funktionen bständig kombiniert, und wea d’Grundlagn vo da Vaknüpfung beherrscht, ko mit zammgsetzten Funktionen elegant umgeh.

Summ und Differenz vo zwoa Funktionen

Aus Funktionen \(f\) und \(g\) büdt ma d’Summ \(h(x) = f(x) + g(x)\) und d’Differenz \(h(x) = f(x) – g(x)\). Da Definitionsbereich vo da neien Funktion is da Durchschnitt vo de Einzeldefinitionsbereiche.

Beispui: \(f(x) = x^2\), \(g(x) = 2x + 1\). Summ: \(h(x) = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2\). Differenz: \(f(x) – g(x) = x^2 – 2x – 1\).

Beispui mit eingschränktem Definitionsbereich: \(f(x) = \sqrt{x}\) (Definitionsbereich \([0, \infty)\)), \(g(x) = \ln(x)\) (Bereich \((0, \infty)\)). Summ \(h(x) = \sqrt{x} + \ln(x)\) is definiert für \(x > 0\).

Produkt und Quotient

Produkt: \(h(x) = f(x) \cdot g(x)\). Definitionsbereich: Durchschnitt.

Quotient: \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\). Zusätzlich \(g(x) \neq 0\).

Beispui Produkt: \(f(x) = x\), \(g(x) = e^x\). Produkt: \(h(x) = x e^x\).

Beispui Quotient: \(f(x) = x + 1\), \(g(x) = x – 2\). Quotient: \(h(x) = \frac{x+1}{x-2}\), definiert für \(x \neq 2\).

Komposition (Vakettung)

D’Komposition setzt a Funktion in a andere ein. Schreibweis: \((f \circ g)(x) = f(g(x))\). Ma sogt: „\(f\) noch \(g\)„.

D’Komposition is im Allgemoanen ned kommutativ: \(f \circ g \neq g \circ f\).

Definitionsbereich: Olle \(x\), für de \(g(x)\) definiert is und \(g(x)\) im Definitionsbereich vo \(f\) liegt.

Beispui zua Komposition

Beispui 1: \(f(x) = x^2\), \(g(x) = 2x + 1\).

\((f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 1) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1\).

\((g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = 2x^2 + 1\).

De zwoa Ergebnisse san vaschiedn.

Beispui 2: \(f(x) = \sqrt{x}\), \(g(x) = x + 3\).

\((f \circ g)(x) = \sqrt{x + 3}\), definiert für \(x \geq -3\).

\((g \circ f)(x) = \sqrt{x} + 3\), definiert für \(x \geq 0\).

Beispui 3: \(f(x) = \ln(x)\), \(g(x) = x^2 + 1\).

\((f \circ g)(x) = \ln(x^2 + 1)\). Weil \(x^2 + 1 > 0\) oiwei, definiert für olle \(x\).

Visualisierung: Komposition ois Pfeildiagramm

Ableitungsregln für vaknüpfte Funktionen

Für Summan: \((f + g)‘ = f‘ + g‘\).

Für Produkte: \((f \cdot g)‘ = f‘ g + f g‘\) (Produktregl).

Für Quotientn: \((f/g)‘ = \frac{f‘ g – f g‘}{g^2}\) (Quotientenregl).

Für Kompositionen: \((f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\) (Kettenregl).

De Regln san ’s Ruckgrat vo da Differentialrechnung im Abitur.

Awendung Produktregl

Beispui: \(h(x) = x e^x\). Mit Produktregl: \(f(x) = x\), \(g(x) = e^x\), \(f'(x) = 1\), \(g'(x) = e^x\). \(h'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1 + x)\).

Beispui: \(h(x) = x^2 \sin(x)\). \(h'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x)\).

Awendung Quotientenregl

Beispui: \(h(x) = \frac{x}{x+1}\). \(f = x\), \(g = x+1\), \(f‘ = 1\), \(g‘ = 1\). \(h'(x) = \frac{1 \cdot (x+1) – x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}\).

Beispui: \(h(x) = \frac{\ln(x)}{x}\). \(h'(x) = \frac{(1/x) \cdot x – \ln(x) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 – \ln(x)}{x^2}\).

Awendung Kettenregl

Beispui: \(h(x) = (2x + 3)^5\). Äußere Funktion \(f(u) = u^5\), innere \(u = g(x) = 2x + 3\). \(f'(u) = 5 u^4\), \(g'(x) = 2\). \(h'(x) = 5(2x+3)^4 \cdot 2 = 10(2x+3)^4\).

Beispui: \(h(x) = e^{x^2}\). Äußere \(f(u) = e^u\), innere \(g(x) = x^2\). \(h'(x) = e^{x^2} \cdot 2x\).

Beispui: \(h(x) = \ln(\sin(x))\). Innere \(\sin(x)\), äußere \(\ln\). \(h'(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \cot(x)\).

Zerlegn ana zammgsetzten Funktion

Bei komplexe Funktionen identifiziert ma d’einzelnen Bausteine. Beispui: \(h(x) = \sqrt{\sin(2x) + 1}\).

Innerste: \(g_1(x) = 2x\). Dann \(\sin(2x)\), des is \(g_2 \circ g_1\) mit \(g_2 = \sin\). Dann \(+1\), vertikale Vaschiebung. Dann \(\sqrt{\cdot}\), äußerste Funktion.

D’Ableitung erfolgt mit da Kettenregl, Schicht für Schicht.

Umkehrung ana Komposition

Wenn \(h = f \circ g\) und \(f, g\) beide umkehrbar san, dann is \(h^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}\). D’Reihnfoig dreht si um.

Beispui: \(h(x) = (2x + 3)^2\) für \(x \geq -3/2\). Komposition vo \(g(x) = 2x + 3\) und \(f(u) = u^2\). Umkehrung: \(y = (2x+3)^2 \Rightarrow \sqrt{y} = 2x + 3 \Rightarrow x = (\sqrt{y} – 3)/2\).

Vaknüpfung in realen Modelln

In Awendunga tauchan Vaknüpfunga oft auf. Beispui: A Objekt beschleunigt, seine Gschwindigkeit is \(v(t) = t^2\), seine Position \(s(v)\). D’Gesamtposition ois Funktion vo da Zeit is \(s(v(t)) = s \circ v\).

In da Wirtschaft: Da Gewinn pro Stück ois Funktion vo da Stückzoih, moigenumma mit da Stückzoih selba, ergibt den Gesamtgewinn. Produkt vo zwoa Funktionen.

Grade und ungrade Funktionen bei Vaknüpfunga

A Funktion is grad, wenn \(f(-x) = f(x)\), ungrade wenn \(f(-x) = -f(x)\).

Summ vo zwoa grade Funktionen: grad. Summ vo zwoa ungrade: ungrade. Summ vo ana grade und ana ungraden: meistns koa Symmetrie.

Produkt vo zwoa grade: grad. Produkt vo zwoa ungrade: grad. Produkt vo ana grade und ana ungraden: ungrade.

Häufige Fehla

Fehla 1: Komposition wia Moirechnung bhandln. \(f(g(x))\) is ned \(f(x) \cdot g(x)\).

Fehla 2: Ableitung vo ana Summ mit Produkt vawechsln.

Fehla 3: Kettenregl vagessn, bloß d’äußere Ableitung berechna.

Fehla 4: Definitionsbereich bei Vaknüpfung ned prüfn. Zum Beispui muaß \(g(x)\) im Definitionsbereich vo \(f\) liegn.

Fazit

Vaknüpfunga vo Funktionen san a zentrals Werkzeig zum Aufbau komplexe Funktionen. Summ, Produkt, Quotient und Komposition san de vier Grundoperationen. Ihre Ableitungsregln (Summenregl, Produktregl, Quotientenregl, Kettenregl) büdn ’s Herzstück vo da Differentialrechnung. Wea a Funktion korrekt in ihre Bausteine zerlegt, ko se effizient ableitn und vastehn. Im Abitur san de Regln jedn Tog im Einsatz, und a sichere Beherrschung is unumgänglich.