Trigonometrische Funktionen: Amplitude, Periode, Phasenvaschiebung
De Standardfunktionen \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\) hamm a feste Form: Periode \(2\pi\), Amplitude \(1\), ohne Vaschiebung. In da Praxis tauchan aba meistns modifizierte Vasionen auf, de an reale Awendunga opasst san. D’allgmoane Form \(f(x) = a \sin(bx + c) + d\) (oida analog mit Cosinus) erlaubt’s, Periode, Amplitude, Phase und vertikale Vaschiebung opassn. Im bayerischn Abitur tauchan so modifizierte trigonometrische Funktionen bei Schwingungs- und Wellenaufgabn auf, und wea d’Parameter interpretieren ko, hod an großn Vorteil.
D’allgmoane Form
\(f(x) = a \cdot \sin(b(x – c)) + d\)Do hamm d’Parameter foignde Bedeutung:
\(a\): Amplitude. ’s Maximum vo da Auslenkung vom Mittelwert.
\(b\): Kreisfrequenz. Bstimmt d’Periode.
\(c\): Horizontale Vaschiebung (Phasenvaschiebung).
\(d\): Vertikale Vaschiebung (Mittelwert).
Oidanativ: \(f(x) = a \sin(bx + c) + d\), wo \(c\) anders interpretiert wead (Phase in Radiant statt ois horizontale Vaschiebung).
Amplitude \(a\)
D’Amplitude is da Faktor vor’m Sinus. Se bstimmt, wia weit da Graph vom Mittelwert abweicht. Bei \(|a| = 2\) schwingt d’Funktion zwischn \(d – 2\) und \(d + 2\). Bei \(|a| = 0{,}5\) bloß zwischn \(d – 0{,}5\) und \(d + 0{,}5\).
Is \(a\) negativ, wead d’Funktion zusätzlich an da \(x\)-Achse gspiegelt. \(-\sin(x)\) is d’Spiegelung vo \(\sin(x)\).
Wertebereich: \([d – |a|, d + |a|]\).
Periode und Frequenz
D’Periode vo ana Sinusfunktion is d’Läng vo am voiständigen Schwingungszyklus. Bei \(\sin(x)\) beträgt se \(2\pi\). Da Parameter \(b\) streckt oder staucht d’Funktion horizontal.
Formel: \(T = \frac{2\pi}{b}\).
Beispui: \(f(x) = \sin(2x)\). Periode: \(2\pi/2 = \pi\). D’Funktion schwingt doppelt so schnell wia da Standardsinus.
Beispui: \(f(x) = \sin(x/2)\). Periode: \(2\pi/(1/2) = 4\pi\). Hoib so schnell.
Phasenvaschiebung
Da Parameter \(c\) vaschiebt d’Funktion horizontal. In da Form \(\sin(b(x – c))\) is \(c\) d’horizontale Vaschiebung: Positive \(c\) vaschiebm noch rechts, negative noch links.
Beispui: \(f(x) = \sin(x – \pi/2) = -\cos(x)\). D’Sinusfunktion wurd um \(\pi/2\) noch rechts vaschobm und entspricht’m negativen Cosinus.
Beispui: \(f(x) = \sin(2(x – 1))\). Um \(1\) noch rechts vaschobm, gstaucht mit Periode \(\pi\).
Vertikale Vaschiebung
Da Parameter \(d\) vaschiebt den ganzn Graphn noch obn (für \(d > 0\)) oder untn (für \(d < 0[/latex]). Da Mittelwert vo da Funktion is [latex]d[/latex]. Da Graph oszilliert um d'horizontale Linie [latex]y = d[/latex].
Beispui: [latex]f(x) = \sin(x) + 3\). Mittelwert \(3\), Maxima bei \(4\), Minima bei \(2\).
Visualisierung: Amplitude und Periode
Umformung und Umrechnung
D’Form \(f(x) = a \sin(bx + c) + d\) losst si in d’Form \(a \sin(b(x – c_1)) + d\) mit \(c_1 = -c/b\) umrechna.
Beispui: \(f(x) = 3 \sin(2x + \pi/2) + 1 = 3 \sin(2(x + \pi/4)) + 1 = 3 \sin(2(x – (-\pi/4))) + 1\). Vaschiebung um \(-\pi/4\), oiso \(\pi/4\) noch links.
Beispuianalyse
Gebn: \(f(x) = 2 \sin(3x – \pi) + 4\). Analyse:
Amplitude: \(a = 2\).
Periode: \(T = 2\pi/3\).
Mittelwert: \(d = 4\).
Phase: \(3x – \pi = 0 \Rightarrow x = \pi/3\). Vaschiebung \(\pi/3\) noch rechts.
Wertebereich: \([2, 6]\).
Vo Sinus zu Cosinus
Sinus und Cosinus san durch Vaschiebung ineinander überführbar: \(\cos(x) = \sin(x + \pi/2)\).
Drum is ’s a Frog vo da Dastellung, ob ma Sinus oder Cosinus nimmt. Oft is d’Wahl durch d’Awendung vorgegeben (zum Beispui Startwert bei \(t = 0\)).
Awendung: Wechselspannung
D’Netzspannung in Europa hod d’Form \(U(t) = 325 \sin(100\pi \cdot t)\) mit \(t\) in Sekundn und \(U\) in Voit. Amplitude \(325\) V (Scheitelwert), Frequenz \(50\) Hz, oiso Periode \(0{,}02\) s.
Da Effektivwert (Wurzl vom Mittelwert vo de Quadrate) is \(325/\sqrt{2} \approx 230\) V. Des is d’Angab, de du kennst.
Awendung: Gezeiten
Da Wasserstand an am Küstenort losst si annähern ois \(h(t) = 3 \sin(\frac{\pi}{6} t) + 6\) mit \(t\) in Stund.
Amplitude \(3\) m, Periode \(12\) h (Gezeitenzyklus), Mittelwert \(6\) m. Wasser schwankt zwischn \(3\) m und \(9\) m.
Awendung: Schwingung vo am Pendl
A Fadenpendl mit Läng \(L\) hod Schwingungsdauer \(T = 2\pi \sqrt{L/g}\). D’Auslenkung: \(x(t) = A \cos(2\pi t / T)\).
Beispui: \(L = 1\) m, \(g = 9{,}81\) m/s². \(T \approx 2{,}006\) s. ’s Pendl schwingt etwa oamoi pro \(2\) Sekundn hin und her.
Nuistelln vo \(a \sin(bx + c) + d\)
\(f(x) = 0 \Leftrightarrow a \sin(bx + c) = -d \Leftrightarrow \sin(bx + c) = -d/a\).
Lösung: \(bx + c = \arcsin(-d/a) + 2k\pi\) oder \(bx + c = \pi – \arcsin(-d/a) + 2k\pi\), dann nach \(x\) auflösn.
Foils \(|d/a| > 1\): koa Nuistelln.
Extremstelln
Extremstelln findn si mit da Ableitung. Bei \(f(x) = a \sin(bx + c) + d\) is \(f'(x) = ab \cos(bx + c) = 0\), oiso \(bx + c = \pi/2 + k\pi\).
Des liefat d’Extremstelln: \(x = \frac{\pi/2 – c}{b} + \frac{k\pi}{b}\).
Bstimmung ana Funktion aus gebnen Eigenschaftn
Oft san Amplitude, Periode und Vaschiebung gebn, und ma soi d’Funktion bstimma. Vorgehn: Parameter einzeln identifiziern und einsetzn.
Beispui: Sinusförmige Schwingung mit Amplitude \(5\), Periode \(\pi\), Mittelwert \(2\), Maximum bei \(x = 0\). Ansatz mit Cosinus (Maximum bei \(x = 0\)): \(f(x) = 5 \cos(bx) + 2\). Mit \(T = \pi\): \(b = 2\pi/T = 2\). Oiso \(f(x) = 5 \cos(2x) + 2\).
Häufige Fehla
Fehla 1: Periode mit \(b\) vawechsln. D’Periode is \(2\pi/b\), ned \(b\).
Fehla 2: Horizontale und vertikale Vaschiebung vatauschn.
Fehla 3: Vorzeichen vo da Phasenvaschiebung foisch lesn. Bei \(\sin(x – c)\) is d’Vaschiebung noch rechts, ned noch links.
Fehla 4: Amplitude ois vollen Schwingungsbereich auffassn. D’Amplitude is d’hoibe Gesamtauslenkung.
Fazit
De vier Parameter Amplitude, Periode, Phase und Mittelwert legn a allgmoane Sinusfunktion eindeutig fest. Jeda Parameter hod a klare geometrische Bedeutung, und mit etwas Übung liest ma’s direkt aus da Gleichung ob. In realen Awendunga wia Schwingunga, Wellen und Gezeiten san modifizierte trigonometrische Funktionen Standard. Wea d’Parameter vasteht, ko reale Datn in d’Mathematik übersetzn und umgekehrt Vorhersagn aus mathematische Modelle oblesn.