Quadratische Funktionen: Scheitelform, Normalform, faktorisierte Form

Quadratische Funktionen tauchan in da Oberstuf oiwei wieder auf: bei Optimierungsaufgabn, beim Bstimma vo Extremwertn, in da Physik bei Wurfparabeln, in da Wirtschaftsmathematik bei Erlös- und Gewinnfunktionen. Je nach Aufgabn is a andere Dastellungsform gschickt. D’Normalform is da Ausgangspunkt, d’Scheitelform offenbart den Scheitelpunkt sofort, d’faktorisierte Form zoagt d’Nuistelln. Da flexibel Umgang mit de drei Forma is a zentrale Fertigkeit.

Normalform

D’Normalform ana quadratischen Funktion is \(f(x) = ax^2 + bx + c\) mit \(a \neq 0\).

\(a\) is da Öffnungsfaktor: Positiv = nach obn geöffnet, negativ = nach untn geöffnet.

\(b\) hod im Zammhang mit \(a\) Einfluss auf d’Scheitelposition.

\(c\) is da \(y\)-Achsnobschnitt: \(f(0) = c\).

Beispui: \(f(x) = x^2 – 4x + 3\). Nach obn geöffnet, \(y\)-Achsnobschnitt bei \(3\).

Scheitelform

D’Scheitelform is \(f(x) = a(x – d)^2 + e\). Do liest ma sofort an Scheitelpunkt \(S(d, e)\) ob.

Beispui: \(f(x) = 2(x – 3)^2 + 1\). Scheitel: \((3, 1)\). Nach obn geöffnet (wegn \(a = 2 > 0\)), schmaler ois d’Normalparabel (wegn \(a > 1\)).

Bei nach obn geöffneta Parabel is da Scheitel ’s Minimum, bei nach untn geöffnet ’s Maximum.

Faktorisierte Form

D’faktorisierte Form is \(f(x) = a(x – x_1)(x – x_2)\), wobei \(x_1\) und \(x_2\) d’Nuistelln san.

Beispui: \(f(x) = (x – 1)(x – 3)\). Nuistelln \(x = 1\) und \(x = 3\). Öffnung nach obn (wegn \(a = 1\)).

Wenn d’Funktion koa reelle Nuistelln hod, gibt’s koa faktorisierte Form in \(\mathbb{R}\).

Umforma zwischn de Forma

Normalform → Scheitelform (quadratische Ergänzung):

\(f(x) = x^2 – 6x + 5 = (x^2 – 6x + 9) – 9 + 5 = (x – 3)^2 – 4\). Scheitel: \((3, -4)\).

Normalform → faktorisierte Form (Nuistelln bstimma):

\(f(x) = x^2 – 6x + 5\). Nuistelln mit Vieta: \((x-1)(x-5)\), weil \(1 \cdot 5 = 5\) und \(1 + 5 = 6\).

Scheitelform → Normalform (ausmultiplizieren):

\(f(x) = 2(x-1)^2 + 3 = 2(x^2 – 2x + 1) + 3 = 2x^2 – 4x + 5\).

Faktorisierte Form → Normalform:

\(f(x) = (x-2)(x+3) = x^2 + x – 6\).

Scheitelpunkt aus Normalform

Mit da Formel \(d = -b/(2a)\) berechnet ma d‘\(x\)-Koordinate vom Scheitel. D‘\(y\)-Koordinate is dann \(e = f(d)\).

Beispui: \(f(x) = x^2 – 6x + 5\). \(d = 6/2 = 3\). \(e = f(3) = 9 – 18 + 5 = -4\). Scheitel: \((3, -4)\).

Nuistelln mit Mitternachtsformel

Aus da Normalform \(ax^2 + bx + c = 0\) findt ma d’Nuistelln mit:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\).

\(b^2 – 4ac > 0\): zwoa Nuistelln.

\(b^2 – 4ac = 0\): a doppelte Nuistell.

\(b^2 – 4ac < 0[/latex]: koa reelle Nuistelln.

Beispui: [latex]f(x) = 2x^2 – 4x – 6\). \(D = 16 + 48 = 64\). \(x = (4 \pm 8)/4\). \(x_1 = 3\), \(x_2 = -1\). Faktorisiert: \(f(x) = 2(x – 3)(x + 1)\).

Visualisierung: Parabel und ihre Forma

Eigenschaften aus de Forma ablesn

Aus da Scheitelform liest ma direkt:

Scheitel: \((d, e)\).

Öffnung: \(a > 0\) nach obn, \(a < 0[/latex] nach untn.

Symmetrieachs: [latex]x = d\).

Aus da faktorisierten Form liest ma direkt:

Nuistelln: \(x_1\) und \(x_2\).

Symmetrieachs: \(x = (x_1 + x_2)/2\) (Mitte zwischn de Nuistelln).

Aus da Normalform liest ma direkt:

\(y\)-Achsnobschnitt: \(c\).

Öffnung: Vorzeichen vo \(a\).

Anwendung: Extremwertproblem

A Rechteck hod Umfang \(40\). Wia groß müassen d’Seitn sei, damit d’Fläch maximal wead?

Sei \(a\) a Seitn. Weil \(2(a + b) = 40\), is \(b = 20 – a\). Fläch: \(A(a) = a(20 – a) = -a^2 + 20a\).

Scheitel (Maximum): \(a = -20/(2 \cdot (-1)) = 10\). \(A_{\max} = 100\). Oiso Seitn \(10 \times 10\) (Quadrat) mit Fläch \(100\).

Merke: Bei ana vorgebnen Summ is ’s Produkt zwoa Zoihn maximal, wenn olle Zoihn gleich san.

Anwendung: Wurfparabel

A Ball wead senkrecht nach obn gworfn mit \(20\) m/s. Höh noch \(t\) Sekundn: \(h(t) = -5t^2 + 20t\) (Erdbeschleunigung \(\approx 10\) m/s², Faktor \(1/2\)).

Maximale Höh: Scheitel bei \(t = 20/10 = 2\) s. \(h_{\max} = -20 + 40 = 20\) m.

Wann kimmt da Ball zruck? Nuistelln: \(-5t(t – 4) = 0\). \(t = 0\) (Wurf) oder \(t = 4\) (Landung). Oiso \(4\) s in da Luft.

Anwendung: Gewinnfunktion

Erlös: \(E(x) = 20x\) (pro Stück 20 Euro).

Kosten: \(K(x) = x^2 + 5x + 30\).

Gewinn: \(G(x) = E(x) – K(x) = -x^2 + 15x – 30\).

Maximaler Gewinn: Scheitel bei \(x = 15/2 = 7{,}5\). \(G_{\max} = -56{,}25 + 112{,}5 – 30 = 26{,}25\) Euro.

Nuistelln (Gewinnschwelle): \(-x^2 + 15x – 30 = 0\). Mit Mitternachtsformel: \(x \approx 2{,}4\) und \(x \approx 12{,}6\). In dem Bereich is Gewinn positiv.

Transformationen

Aus \(f(x) = x^2\) entstehen andre Parabeln durch Transformationen:

\(f(x) = x^2 + c\): Vaschiebung um \(c\) nach obn.

\(f(x) = (x – d)^2\): Vaschiebung um \(d\) nach rechts.

\(f(x) = a x^2\): Streckung mit Faktor \(a\).

Kombination: \(f(x) = a(x-d)^2 + e\) is d’allgmoane Scheitelform.

Satz vo Vieta

San \(x_1\) und \(x_2\) d’Nuistelln vo \(x^2 + px + q = 0\), dann güit \(x_1 + x_2 = -p\) und \(x_1 \cdot x_2 = q\).

Aus da Normalform \(x^2 + px + q\) kimmt d’faktorisierte Form \((x – x_1)(x – x_2)\). Beim Ausmultiplizieren: \(x^2 – (x_1 + x_2)x + x_1 x_2\). Vergleich liefat Vieta’s Formeln.

Symmetrie

D’Parabel is achsensymmetrisch zua vertikalen Gradn \(x = d\) durch den Scheitel. Des folgt direkt aus da Scheitelform: \(f(d + h) = f(d – h)\) für olle \(h\).

In da Normalform: Symmetrieachs bei \(x = -b/(2a)\).

Häufige Fehla

Fehla 1: Bei quadratischer Ergänzung ’s Vorzeichen vo da Ergänzung vagessn. \(x^2 – 6x = (x-3)^2 – 9\), ned \((x-3)^2 + 9\).

Fehla 2: Scheitel und Nuistell vawechsln.

Fehla 3: Vorzeichenfehla in da faktorisierten Form. \((x-2)(x+3)\), ned \((x+2)(x-3)\), wenn d’Nuistelln \(2\) und \(-3\) san.

Fehla 4: D’Form ignoriern, wenn ma expliziten Scheitel oder explizite Nuistelln braucht.

Optimierung mit linearen Nebnbedingunga

Klassische Aufgab: A Rechteck mit ana Seitn auf da \(x\)-Achse und de obern zwoa Eckpunkte auf da Parabel \(y = 4 – x^2\). Maximala Fläch?

D’Eckpunkt san bei \((x, 0)\), \((-x, 0)\), \((-x, 4-x^2)\), \((x, 4-x^2)\). Fläch: \(A(x) = 2x(4 – x^2) = 8x – 2x^3\). Ableitung: \(A'(x) = 8 – 6x^2 = 0 \Rightarrow x = 2/\sqrt{3}\).

Maximale Fläch: \(A = 8 \cdot 2/\sqrt{3} – 2 \cdot (2/\sqrt{3})^3 = 16/\sqrt{3} – 16/(3\sqrt{3}) = 32/(3\sqrt{3})\).

Schluss

Drei Forma, drei Blickwinkel auf a quadratische Funktion. D’Normalform is da Standard, d’Scheitelform optimal fürs Bstimma vo Extremwertn, d’faktorisierte Form für Nuistelln und Zerfall. Umformunga zwischn de Forma wean durch Ausmultiplizieren, quadratische Ergänzung und Satz vo Vieta durchgführt. Mit Übung wählt ma d’passade Form situativ. Quadratische Funktionen san im Abitur Standard bei Optimierungsaufgabn und Modellierungen. Sicher Umgang mit ihnen is d’Grundlag für komplexere Analysis.