Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen (Gauß-Vafahrn)

Gleichungssysteme mit drei Variablen san a natürliche Erweiterung vo de Systeme mit zwoa Variablen. Se tauchan im bayerische Abitur bsonders in da analytischn Geometrie auf, etwa bei Schnittpunktaufgabn vo Gradn und Ebenen oder bei Bstimmungsaufgabn für Funktionsgleichunga mit drei Parametern. ’s Gauß-Vafahrn is a systematischs Vorgehen, des zuverlässig funktioniert, aa wenn ’s System größer oda komplizierter wead.

D’Aufgabnstellung

A lineares Gleichungssystem mit drei Variablen hod d’allgemoane Form:

\(a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1\) \(a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2\) \(a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3\)

Gsuacht is a Tripel \((x, y, z)\), des olle drei Gleichunga gleichzeitig erfüllt.

Geometrisch: Jede Gleichung bschreibt a Ebene im dreidimensionalen Raum. D’Lösung is da Schnittpunkt vo de drei Ebenen.

’s Gauß-Vafahrn in Grundzüg

’s Ziel is, durchs gschickte Plusrechna vo Gleichunga ’s System schrittweis in a Dreiecksform zum bringa:

\(a x + b y + c z = d\) \(e y + f z = g\) \(h z = i\)

Aus da letztn Gleichung kriagt ma \(z\), durch Einsetzn in d’zwoate \(y\), durch Einsetzen in d’erste \(x\). De Vorgehnsweis hoaßt Ruckwärtseinsetzn.

Schritt-für-Schritt-Beispui

Lös:

\(x + y + z = 6\) (I)

\(2x – y + z = 3\) (II)

\(x + 2y – z = 2\) (III)

Schritt 1: \(x\) aus (II) und (III) eliminieren.

(II) – 2·(I): \((2x – y + z) – 2(x + y + z) = 3 – 12\), oiso \(-3y – z = -9\), oiso \(3y + z = 9\) (IIa).

(III) – (I): \((x + 2y – z) – (x + y + z) = 2 – 6\), oiso \(y – 2z = -4\) (IIIa).

Schritt 2: \(y\) aus (IIIa) eliminieren.

(IIa) – 3·(IIIa): \((3y + z) – 3(y – 2z) = 9 – (-12)\), oiso \(7z = 21\), oiso \(z = 3\).

Schritt 3: Ruckwärtseinsetzn.

In (IIIa): \(y – 6 = -4\), oiso \(y = 2\).

In (I): \(x + 2 + 3 = 6\), oiso \(x = 1\).

Lösung: \((x, y, z) = (1, 2, 3)\).

Matrixschreibweis

Für größere Systeme is d’Matrixschreibweis praktisch. Ma schreibt bloß d’Koeffizientn und d’rechte Seitn in a Matrix:

\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 2 & -1 & 1 & | & 3 \\ 1 & 2 & -1 & | & 2 \end{pmatrix}\)

Dann umgformt ma d’Zeiln (Zeiln vatauschn, mit Zoihn moirechna, Zeiln addieren) bis zur Dreiecksform. Des is oigentlich ’s gleiche wia obn, bloß kompakta.

Erlaubte Zeilnoperationen

Drei Arten vo Umformunga san erlaubt und ändern d’Lösungsmenge ned:

Zwoa Zeiln vatauschn.

A Zeil mit ana Zoih ungleich null moirechna.

A Vielfaches vo ana Zeil zu ana andern Zeil plusrechna.

Visualisierung: drei Ebenen im Raum

Lösbarkeit: drei Foi

Wia bei zwoa Variablen gibt’s drei grundsätzliche Foi:

Foi 1: Genau a Lösung. D’drei Ebenen schneidn si in genau am Punkt. ’s Gauß-Vafahrn liefat a Dreiecksform mit drei Lösunga.

Foi 2: Koa Lösung. Irgendwo in da Umformung kimmt a Widerspruch wia \(0 = 5\). Geometrisch: D’Ebenen hamm koan gmoansamen Punkt.

Foi 3: Unendlich vui Lösunga. Ma kriagt a wahre Aussag wia \(0 = 0\). D’Ebenen hamm a gmoansame Gradn oda san sogar identisch. D’Lösung wead mit am freien Parameter bschriebn.

Beispui: koa Lösung

\(x + y + z = 1\) \(2x + 2y + 2z = 3\) \(x – y + z = 0\)

(II) – 2·(I): \(0 = 1\). Widerspruch. Koa Lösung.

Beispui: unendlich vui Lösunga

\(x + y + z = 6\) \(2x + 2y + 2z = 12\) \(x + 2y – z = 2\)

(II) is \(2 \cdot\) (I), koa neie Information. System reduziert si auf:

\(x + y + z = 6\) \(x + 2y – z = 2\)

Zwoa Gleichunga, drei Unbekannte. A freia Parameter. Etwa \(z = t\). Dann: \(x + y = 6 – t\) und \(x + 2y = 2 + t\). Obziehen: \(y = -4 + 2t\). Einsetzn: \(x = 6 – t – (-4 + 2t) = 10 – 3t\). Lösungsmenge: \((10 – 3t, -4 + 2t, t)\) für \(t \in \mathbb{R}\).

Geometrisch: D’drei Ebenen schneidn si in ana Gradn.

Awendung: Parameter ana Funktion bstimma

A klassische Awendung: Find a quadratische Funktion \(f(x) = ax^2 + bx + c\), de durch drei gebne Punkt geht.

Beispui: \(f(0) = 1\), \(f(1) = 4\), \(f(2) = 11\).

Einsetzen:

\(c = 1\) \(a + b + c = 4\) \(4a + 2b + c = 11\)

Aus erster: \(c = 1\). In zwoate: \(a + b = 3\). In dritte: \(4a + 2b = 10\), oiso \(2a + b = 5\). Obziehen: \(a = 2\), \(b = 1\). Funktion: \(f(x) = 2x^2 + x + 1\).

Schnittpunkt vo Gradn und Ebenen

A Gradn \(g: \vec{x} = \vec{p} + t \vec{v}\) und a Ebene \(E: ax + by + cz = d\). Ma setzt d’Parametrisierung in d’Ebenengleichung ein und kriagt a lineare Gleichung für \(t\). Daraus ergibt si da Schnittpunkt.

Konkretes Beispui: Gradn \(\vec{x} = (1, 2, 3) + t(1, 1, 1)\), Ebene \(x + 2y + z = 10\). Einsetzn: \((1+t) + 2(2+t) + (3+t) = 10 \Rightarrow 8 + 4t = 10 \Rightarrow t = 1/2\). Schnittpunkt: \((1{,}5, 2{,}5, 3{,}5)\).

Überbstimmte Systeme

Manchmoi stenga mehra Gleichunga zur Vafügung ois Unbekannte. Wenn olle Gleichunga mit ana oanzign Lösung kompatibel san, is ’s System lösbar. Sunst ned.

Im Abitur erscheinen überbstimmte Systeme bei da Frog, ob a Punkt auf ana Ebene oder ana Kurve liegt. Ma setzt ein und prüft, ob olle Bedingunga erfüllt san.

Hüifreiche Strategien

Strategie 1: Vor’m Aafanga d’Koeffizientn anschaun. Oft kimmt’s vui leichta, wenn ma mit ana bstimmtn Kombination o’fangt.

Strategie 2: Brüch vameidn, solang’s geht. Moirechna ma eher mit ganze Zoihn.

Strategie 3: Ruckwärtseinsetzn sorgfältig. Do passiern d’meistn Flüchtigkeitsfehla.

Strategie 4: Probe am End mit am Koordinaten-Tripel durchs Einsetzn in olle drei Originalgleichunga.

Gauß-Jordan-Vafahrn

A Erweiterung vo da Standard-Gauß-Methode is ’s Gauß-Jordan-Vafahrn. Ma büdt ned bloß Dreiecksform, sondan bringt d’Matrix in d’sogenannte reduzierte Zeilenstufenform, bei dera in jeda Spoitn mit am führenden Einser alle andan Einträg null san. Dann liest ma d’Lösung direkt ob, ohne Ruckwärtseinsetzn.

Rechna mit Parameterwert

Oft enthoit ’s System einen Parameter, und ma soi bstimma, für welche Parameterwert’s eindeutig lösba, koa Lösung oder unendlich vui Lösunga hod.

Beispui:

\(x + y + z = 2\) \(x + 2y + 3z = 5\) \(2x + 3y + a z = 7\)

Noch Umformung kimmt oft a Koeffizient raus, der vo \(a\) abhängt. Ob er null is oda ned, entscheidet über d’Art vo da Lösung.

Häufige Fehla

Fehla 1: Vorzeichnfehla beim Plusrechna vo Zeiln. Sorgfältig die Minuszeichen trackn.

Fehla 2: Fehlende Variablen ignorieren. Wenn a Variable in ana Gleichung ned vorkimmt, gheert dort a Null hi.

Fehla 3: Beim Ruckwärtseinsetzn a Gleichung vawendn, de ned konsistent umgformt wurd.

Fehla 4: Probe auslassn. Bei drei Gleichunga passiern Flüchtigkeitsfehla leichta.

A vatrackters Beispui

\(2x + y – z = 4\) \(x – y + 2z = 1\) \(3x + 2y + z = 7\)

(I) moi \(1/2\): \(x + 0{,}5 y – 0{,}5 z = 2\). Bleibm besser bei ganzschließlichn Operationen: (II) \(\cdot 2\): \(2x – 2y + 4z = 2\). Minus (I): \(-3y + 5z = -2\).

(III) \(\cdot 1\) – (I) \(\cdot 1{,}5\): \(3x – 3x + 2y – 1{,}5y + z + 1{,}5z = 7 – 6\), oiso \(0{,}5y + 2{,}5z = 1\), oiso \(y + 5z = 2\).

Aus erster: \(-3y + 5z = -2\). Aus zwoata: \(y = 2 – 5z\). Einsetzn: \(-3(2 – 5z) + 5z = -2 \Rightarrow -6 + 15z + 5z = -2 \Rightarrow 20z = 4 \Rightarrow z = 0{,}2\).

\(y = 2 – 1 = 1\). \(x + 0{,}5 – 0{,}1 = 2 \Rightarrow x = 1{,}6\).

Lösung: \((1{,}6, 1, 0{,}2)\).

Schluss

’s Gauß-Vafahrn is a mächtigs Werkzeig, um lineare Gleichungssysteme jeder Größe systematisch zu lösn. Im bayerische Abitur is’s Standard für Systeme mit drei Variablen, besonders in da analytischn Geometrie. Geometrisch steht dabei oft d’Frog im Hintergrund, wia si drei Ebenen im Raum zueinand vahoitn. Mit Sorgfalt und Routine löst ma aa komplexe Systeme sicha. ’s Ruckwärtseinsetzn is da letzte Schritt, und a Probe rundet de Arbeit ob.