Wurzlgleichunga und Probe
Wurzlgleichunga san Gleichunga, in dena d’Unbekannte unter ana Wurzl steht. Zum Beispui \(\sqrt{x} = 4\) oda \(\sqrt{2x+3} = x-1\). Se losst si durch Quadrieren in normale Gleichunga umwandeln, aba de Umformung hod a Hakn: Quadrieren is koa Äquivalenzumformung, es ko Scheinlösunga erzeign. Drum is bei jeda Wurzlgleichung a abschließnde Probe Pflicht. Im bayerische Abitur begegnan da Wurzlgleichunga bei Definitionsbereichs-Aufgabn und Schnittpunkt-Berechnunga.
D’Grundform
De oafachste Wurzlgleichung hod d’Form \(\sqrt{f(x)} = c\) mit \(c \geq 0\). D’Lösungsstrategie: Quadrieren. Aus \(\sqrt{f(x)} = c\) wead \(f(x) = c^2\), was meistns oafach zum lösn is.
Beispui: \(\sqrt{x} = 4\). Quadrieren: \(x = 16\). Probe: \(\sqrt{16} = 4\). Passt.
Beispui: \(\sqrt{x-3} = 2\). Quadrieren: \(x – 3 = 4\), oiso \(x = 7\). Probe: \(\sqrt{7-3} = \sqrt{4} = 2\). Passt.
Definitionsbereich vo Wurzlgleichunga
D’Quadratwurzl is bloß für nicht-negative Radikandn definiert. Oiso muaß \(f(x) \geq 0\) güitn, damit \(\sqrt{f(x)}\) überhaupts Sinn macht.
Beispui: \(\sqrt{x-3} = 2\). Definitionsbereich: \(x – 3 \geq 0\), oiso \(x \geq 3\).
Beispui: \(\sqrt{x^2 – 4} = 3\). Radikand: \(x^2 – 4 \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq 4 \Rightarrow x \leq -2\) oda \(x \geq 2\). Definitionsbereich: \((-\infty, -2] \cup [2, \infty)\).
Warum Probe notwendig?
Quadrieren is keine Äquivalenzumformung. De Gleichunga \(a = b\) und \(a^2 = b^2\) san ned gleichbedeutend. Denn aus \(a = b\) foigt \(a^2 = b^2\), aba umgekehrt ned: \(a^2 = b^2\) ko aa \(a = -b\) bedeutn.
Beispui: \(\sqrt{x} = -2\). Quadrieren: \(x = 4\). Aba \(\sqrt{4} = 2 \neq -2\). Scheinlösung.
Eigentlich hätt ma sofort gsehn: Quadratwurzln san nicht-negativ, \(\sqrt{x} = -2\) ko niemois Lösunga hamm.
Systematisches Vorgehen
Schritt 1: Definitionsbereich bstimma.
Schritt 2: Wurzl isolieren (wenn’s mehr ois oane gibt, a Wurzl aloa auf oana Seitn).
Schritt 3: Beide Seitn quadrieren.
Schritt 4: Restgleichung lösn.
Schritt 5: Probe durchführen.
Beispui mit linearer Restgleichung
Lös \(\sqrt{2x – 1} = x – 2\).
Definitionsbereich: \(2x – 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1/2\). Und für d’Lösung muaß \(x – 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2\).
Quadrieren: \(2x – 1 = (x-2)^2 = x^2 – 4x + 4\).
Umstelln: \(x^2 – 6x + 5 = 0\). Vieta: \((x-1)(x-5) = 0\). Lösunga \(x = 1\) oda \(x = 5\).
Prüfung gegn Definitionsbereich: \(x = 1\) erfüllt \(x \geq 2\) ned, oiso Scheinlösung. \(x = 5\) passt.
Probe: \(\sqrt{2 \cdot 5 – 1} = \sqrt{9} = 3 = 5 – 2\). Passt.
Oanzige Lösung: \(x = 5\).
Beispui mit quadratische Restgleichung
Lös \(\sqrt{x^2 + 3} = 2x – 1\).
Definitionsbereich: \(x^2 + 3 \geq 0\) oiwei erfüllt. Für d’Lösung: \(2x – 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1/2\).
Quadrieren: \(x^2 + 3 = 4x^2 – 4x + 1\).
Umstelln: \(3x^2 – 4x – 2 = 0\). Mitternachtsformel: \(x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{3}\).
\(\sqrt{10} \approx 3{,}16\). \(x_1 \approx 1{,}72\), \(x_2 \approx -0{,}39\). \(x_2\) erfüllt \(x \geq 1/2\) ned, oiso Scheinlösung.
Oanzige Lösung: \(x = \frac{2 + \sqrt{10}}{3}\).
Gleichunga mit zwoa Wurzln
Wenn zwoa Wurzln in da Gleichung stenga, isoliert ma zerscht oane, quadriert, und wiederhoit für d’andere.
Beispui: \(\sqrt{x + 5} – \sqrt{x} = 1\).
Definitionsbereich: \(x \geq 0\).
Isolieren: \(\sqrt{x + 5} = 1 + \sqrt{x}\).
Quadrieren: \(x + 5 = 1 + 2\sqrt{x} + x\), oiso \(4 = 2\sqrt{x}\), oiso \(\sqrt{x} = 2\), oiso \(x = 4\).
Probe: \(\sqrt{4 + 5} – \sqrt{4} = 3 – 2 = 1\). Passt.
Visualisierung: Wurzlgleichung geometrisch
Höhere Wurzln
Analog losst si Gleichunga mit Kubikwurzln lösn. Do potenziert ma mit \(3\) statt \(2\). Ois Kubikwurzl is im Reelln für olle Wert definiert, muaß koa Definitionsbereich eingschränkt wean.
Beispui: \(\sqrt[3]{x + 1} = 2\). Hochn mit \(3\): \(x + 1 = 8\), oiso \(x = 7\). Probe: \(\sqrt[3]{8} = 2\). Passt.
Awendung: Bewegung auf ana Parabel
A Ball fliagt parabelförmig. Zu welchem Zeitpunkt erreicht er d’Höh \(5\) m, wenn seine Höh durch \(h(t) = 10t – 5t^2\) bschriebn wead?
Gleichung: \(10t – 5t^2 = 5\). Umstelln: \(5t^2 – 10t + 5 = 0\), oiso \(t^2 – 2t + 1 = 0\), oiso \((t-1)^2 = 0\), oiso \(t = 1\) (doppelte Lösung). Da Ball erreicht d’Höh \(5\) m genau beim höchstn Punkt.
Des is koa Wurzlgleichung, aba a oafaches Beispui, wo Quadrierte vorkimman und wo ma oida mit Wurzln arbeitn kennt, wenn d’Aufgab andre rum gstellt is.
Bewegungsaufgab mit Wurzln
Beispui: A Boot fohrt mit Gschwindigkeit \(v\) in stiallm Wassa und braucht für a bstimmte Strecke \(t\) Sekundn. In am Fluss mit Strömung \(s\) braucht’s länga, weil d’effektive Gschwindigkeit kloana is. Solche Aufgabn führn oft auf Wurzlgleichunga.
Konkret: \(\sqrt{t^2 + 16} = t + 2\). Quadrieren: \(t^2 + 16 = t^2 + 4t + 4\), oiso \(12 = 4t\), oiso \(t = 3\). Probe: \(\sqrt{9 + 16} = 5 = 3 + 2\). Passt.
Häufige Fehla
Fehla 1: Probe auslassn. Scheinlösunga nemma oft ned von oi.
Fehla 2: Definitionsbereich nia prüfn. Bei Wurzlgleichunga san negative Radikandn nix wert.
Fehla 3: \((\sqrt{f(x)})^2 = f(x)\), aba \(\sqrt{(g(x))^2} = |g(x)|\). D’zwoate Form hod an Betrag, den ma leicht übersiagt.
Fehla 4: Bei zwoa Wurzln beide gleichzeitig quadrieren woin. Stattdessn oane isolieren und dann quadrieren.
Beispui mit drei Wurzln
Lös \(\sqrt{x + 3} + \sqrt{x – 2} = \sqrt{4x + 1}\).
Definitionsbereich: \(x \geq 2\) und \(x \geq -1/4\). Oiso \(x \geq 2\).
Beide Seitn quadrieren: \((x + 3) + 2\sqrt{(x+3)(x-2)} + (x – 2) = 4x + 1\).
Vereinfacha: \(2x + 1 + 2\sqrt{(x+3)(x-2)} = 4x + 1\), oiso \(2\sqrt{(x+3)(x-2)} = 2x\), oiso \(\sqrt{(x+3)(x-2)} = x\).
Zwoats Quadrieren: \((x+3)(x-2) = x^2\), oiso \(x^2 + x – 6 = x^2\), oiso \(x = 6\).
Probe: \(\sqrt{9} + \sqrt{4} = 3 + 2 = 5\), \(\sqrt{25} = 5\). Passt.
Grenzn vo da Methode
Ned jede Wurzlgleichung hod a Lösung. Manchmoi führt ’s Quadrieren auf a foische Aussag (Widerspruch), oda alle rein algebraisch gewonnene Lösunga entpuppen si ois Scheinlösunga.
Beispui: \(\sqrt{x + 1} = x + 2\). Definitionsbereich: \(x \geq -1\) und \(x + 2 \geq 0\), oiso \(x \geq -1\).
Quadrieren: \(x + 1 = x^2 + 4x + 4\), oiso \(x^2 + 3x + 3 = 0\). Diskriminante \(\)9 – 12 = -3 < 0[/latex]. Koa reelle Lösunga. Oiso aa d'Wurzlgleichung hod koa Lösung.
Schluss
Wurzlgleichunga löst ma durch Isolieren und Quadrieren. Da entscheidende Schritt is d’Probe, weil Quadrieren Scheinlösunga produzieren ko. Dazua kimmt d’Beachtung vom Definitionsbereich fürs Radikand und d’Einschränkung, dass d’rechte Seitn nicht-negativ sei muaß (weil d’Quadratwurzl des oiwei is). Mit de Punkt im Kopf wead d’Aufgab beherrschbar. In Anwendunga tauchan Wurzlgleichunga bei Bewegungs- und Mischungsaufgabn auf.