Bruchgleichunga und Definitionsbereiche

Bruchgleichunga san Gleichunga, in dena d’Variable im Nenna vorkimmt. Se unterscheidn si in zwoa wichtige Punkt vo gwöhnliche Gleichunga: Erstns muaß ma an Definitionsbereich bstimma, weil durch null ned teilt wean derf. Zwoatns wean Lösunga durch ’s Moirechna mit’m Nenna gfundn, was aba Scheinlösunga erzeign ko. Drum is a sorgfältige Probe am End unerlässlich. Im bayerische Abitur kemman Bruchgleichunga oft bei gebrochen-rationale Funktionen vor.

Wos san Bruchgleichunga?

A Bruchgleichung is a Gleichung, bei dera mindstns a Term a Bruch mit Variable im Nenna is. Typische Beispui:

\(\frac{1}{x} = 3\) \(\frac{x+1}{x-2} = 2\) \(\frac{2}{x} + \frac{3}{x+1} = 1\)

Nix vo dem kennt ma ois normale Gleichung bhandln, ohne an Definitionsbereich und de späta notwendige Probe.

Definitionsbereich bstimma

Vor’m Lösn wead da Definitionsbereich bstimmt. Ma suacht olle \(x\)-Wert, für de irgendoa Nenna null wead, und schließt se aus.

Beispui 1: \(\frac{1}{x} = 3\). Nenna wead null bei \(x = 0\). Oiso \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\).

Beispui 2: \(\frac{2}{x-3} + \frac{1}{x+1} = 5\). Zwoa Nenna, zwoa Bedingunga: \(x \neq 3\) und \(x \neq -1\). \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 3\}\).

Beispui 3: \(\frac{x}{x^2 – 4} = 1\). Nenna faktorisieren: \(x^2 – 4 = (x-2)(x+2)\). \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}\).

Lösungsstrategie

’s Standardvafahrn zum Lösn vo Bruchgleichunga:

Schritt 1: Definitionsbereich bstimma.

Schritt 2: Mit’m Hauptnenna moirechna, um d’Brüch zum beseitign.

Schritt 3: D’resultierende Gleichung lösn (meistns linear oda quadratisch).

Schritt 4: Lösunga gegn Definitionsbereich prüfn. Unzulässige Lösunga streichn.

Schritt 5: Probe durch Einsetzn.

Beispui: oafache Bruchgleichung

Lös \(\frac{2}{x} + 1 = 3\).

Definitionsbereich: \(x \neq 0\).

Mit \(x\) moirechna: \(2 + x = 3x\).

Umstelln: \(2 = 2x\), oiso \(x = 1\).

Probe: \(\frac{2}{1} + 1 = 3\). Passt. Lösung: \(x = 1\).

Beispui: zwoa Brüch

Lös \(\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{2}{3}\).

Definitionsbereich: \(x \neq 1\) und \(x \neq -1\).

Hauptnenna: \(3(x-1)(x+1)\). Ollemoi moirechna:

\(3(x+1) + 3(x-1) = 2(x-1)(x+1)\) \(3x + 3 + 3x – 3 = 2(x^2 – 1)\) \(6x = 2x^2 – 2\) \(2x^2 – 6x – 2 = 0\) \(x^2 – 3x – 1 = 0\)

Mitternachtsformel: \(x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}\). Beide Wert san im Definitionsbereich.

Scheinlösunga

A Scheinlösung is a Wert, der rein algebraisch nach’m Moirechna rauskimmt, aba ned im Definitionsbereich liegt. So a Wert muaß gstrichn wean.

Beispui: \(\frac{x}{x-2} = \frac{2}{x-2}\).

Definitionsbereich: \(x \neq 2\).

Mit \((x-2)\) moirechna: \(x = 2\).

Aba \(x = 2\) is ausgschlossen. Oiso koa Lösung.

Des is a klassisches Beispui für a Scheinlösung: Se erscheint algebraisch, is aba wegn’m Definitionsbereich unzulässig.

Bruchgleichunga mit quadratische Termen im Nenna

Beispui: \(\frac{1}{x-1} – \frac{2}{x+1} = \frac{6}{x^2 – 1}\).

Zerscht: \(x^2 – 1 = (x-1)(x+1)\). Definitionsbereich: \(x \neq 1\) und \(x \neq -1\).

Hauptnenna: \((x-1)(x+1)\). Mit’m Hauptnenna moirechna:

\((x+1) – 2(x-1) = 6\) \(x + 1 – 2x + 2 = 6\) \(-x + 3 = 6\)

\(x = -3\).

Prüfung: \(-3\) is im Definitionsbereich. Passt.

Visualisierung: Definitionslückn bei gebrochen-rationale Funktionen

Gleichunga mit mehrane Brüch auf beidn Seitn

Beispui: \(\frac{x+1}{x-1} = \frac{x+3}{x+1}\).

Definitionsbereich: \(x \neq 1\) und \(x \neq -1\).

Übakreuzmoirechna: \((x+1)(x+1) = (x-1)(x+3)\).

Ausmultiplizieren: \(x^2 + 2x + 1 = x^2 + 2x – 3\).

Vereinfacha: \(1 = -3\). Widerspruch.

Oiso koa Lösung.

Bruchgleichunga in Textaufgabn

Klassische Bewegungsaufgab: Zwoa Fohrzeig legen de gleiche Strecke zruck. Des oa fohrt mit 60 km/h, ’s andre mit 80 km/h. ’s zwoate kimmt a Stund früha an. Wia lang is d’Strecke?

Sei \(s\) d’Strecke. Fohrzeit 1: \(s/60\). Fohrzeit 2: \(s/80\). Differenz: \(\frac{s}{60} – \frac{s}{80} = 1\).

Hauptnenna \(240\): \(\frac{4s}{240} – \frac{3s}{240} = 1\), oiso \(\frac{s}{240} = 1\), oiso \(s = 240\) km.

Bruchgleichunga mit Parameter

Manchmoi enthoit a Bruchgleichung an Parameter. D’Aufgab lautet oft: Bstimm de Wert vom Parameter, für de d’Gleichung lösba is.

Beispui: \(\frac{x}{x-a} = 2\). Zerscht: Definitionsbereich \(x \neq a\). Moirechna: \(x = 2(x-a) = 2x – 2a\), oiso \(x = 2a\). Damit de Lösung gültig is, muaß \(2a \neq a\) güitn, oiso \(a \neq 0\). Für \(a = 0\) gibt’s koa Lösung.

Arbeitsaufgabn

Klassische „Arbeit in gmeinsama Zeit“-Aufgab: Oa Arbeiter braucht \(6\) Stund, a andrer \(9\) Stund für a Arbeit. Wia lang brauchan de zam?

Sei \(t\) d’gmeinsame Zeit. Anteil am Arbeitsumfang pro Stund: \(1/6\) und \(1/9\). Zam \(1/6 + 1/9 = (3+2)/18 = 5/18\). Ganze Arbeit in \(t\) Stund: \(t \cdot 5/18 = 1\), oiso \(t = 18/5 = 3{,}6\) Stund.

Oida ois Bruchgleichung direkt: \(\frac{t}{6} + \frac{t}{9} = 1\). Moirechna mit \(18\): \(3t + 2t = 18\), oiso \(t = 18/5\).

Häufige Fehla

Fehla 1: Definitionsbereich vagessn. Scheinlösunga wean übasehn und foisch ois Lösung angebm.

Fehla 2: Beim Moirechna ned olle Terme mit’m Hauptnenna moinehma. Aa Terme ohne Bruch müassen mit’m Hauptnenna moigenumma wean.

Fehla 3: Vorzeichen beim Minusrechna vo Brüch. \(-\frac{a+b}{c} = \frac{-a-b}{c}\), ned \(\frac{-a+b}{c}\).

Fehla 4: Probe auslassn. Gerade bei Bruchgleichunga is a Probe wichtig.

Hüifreiche Techniken

Technik 1: Bei mehrane Brüch auf ana Seitn zerscht zamfassn, dann moirechna.

Technik 2: Wenn beide Seitn Brüch hamm, Übakreuzmoirechna. \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow ad = bc\) (bei \(b, d \neq 0\)).

Technik 3: Bei quadratische Nenna oiwei faktorisieren, bevor’st den Hauptnenna büdest.

A anspruchsvolls Beispui

Lös \(\frac{2x}{x^2-1} + \frac{3}{x+1} = \frac{5}{x-1}\).

Nenna faktorisieren: \(x^2 – 1 = (x-1)(x+1)\). Definitionsbereich: \(x \neq 1\) und \(x \neq -1\).

Hauptnenna: \((x-1)(x+1)\). Moirechna:

\(2x + 3(x-1) = 5(x+1)\) \(2x + 3x – 3 = 5x + 5\) \(5x – 3 = 5x + 5\)

\(-3 = 5\). Widerspruch.