Kubische und biquadratische Gleichunga

Gleichunga höhern Grades begegnan da im bayerische Abitur oiwei wieder, bsonders wenn’s drum geht, Nuistelln vo ganzrationale Funktionen zum finden. Während quadratische Gleichunga mit ana oanzigen Formel glöst wean kennan, brauchst für Gleichunga drittn oda viertn Grades mehrane Strategien. De zwoa wichtigstn Typn, de du kenna muaßt, san kubische Gleichunga vo da Form \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) und biquadratische Gleichunga vo da Form \(ax^4 + bx^2 + c = 0\). Beide losst si mit de richtign Werkzeig zuverlässig lösn.

Kubische Gleichunga: da allgemoane Foi

A kubische Gleichung hod d’Form \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\). Noch’m Fundamentalsatz vo da Algebra hod se drei Lösunga, wenn ma komplexe Lösunga mitzählt. Im Reelln gibt’s mindstns a Lösung und maximal drei.

Anders ois bei quadratische Gleichunga gibt’s do aa a allgemoane Lösungsformel (Cardano-Formel), de is aba fürs Schuiwesn ned relevant. Stattdessn nutzt ma im Abitur a pragmatisches Vafahrn: Ma raat a Nuistell und reduziert damit d’Gleichung auf a quadratische.

Da Trick: Nuistell ratn

Wenn d’Gleichung ganzzohlige Koeffizientn hod und a ganzzohlige Nuistell existiert, findt ma de unta de Teila vom konstantn Glied \(d\). Des foigt aus’m Satz über ganzzohlige Nuistelln.

Beispui: \(x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = 0\). Konstantes Glied: \(-6\). Teila: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\). Einsetzn: \(x = 1\) liefat \(1 – 6 + 11 – 6 = 0\). Passt, oiso is \(x = 1\) a Nuistell.

Polynomdivision zur Reduktion

Sobald a Nuistell \(x_1\) bekannt is, teilt ma ’s Polynom durch \((x – x_1)\). ’s Ergebnis is a Polynom zwoatn Grades, des si mit da Mitternachtsformel oda da pq-Formel lösn losst.

Fortsetzung: \(x^3 – 6x^2 + 11x – 6 : (x-1) = x^2 – 5x + 6\). D’quadratische Gleichung \(x^2 – 5x + 6 = 0\) hod noch Vieta d’Lösunga \(x = 2\) und \(x = 3\).

Gesamtlösung: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\), \(x_3 = 3\).

Kubische Gleichunga ohne konstantes Glied

Wenn in da Gleichung koa konstantes Glied vorkimmt, oiso \(d = 0\), is \(x = 0\) oiwei a Lösung. Ma klammert \(x\) aus und löst den Rest.

Beispui: \(x^3 – 5x^2 + 6x = 0\). Ausklammern: \(x(x^2 – 5x + 6) = 0\). A Lösung is \(x = 0\). Da quadratische Rest: \(x^2 – 5x + 6 = 0\), oiso \(x = 2\) oda \(x = 3\). Gesamtlösung: \(x \in \{0, 2, 3\}\).

Sunderfoi: reine Kubikgleichung

A Gleichung vo da Form \(x^3 = a\) hod im Reelln genau a Lösung: \(x = \sqrt[3]{a}\).

Beispui: \(x^3 = 27 \Rightarrow x = 3\). \(x^3 = -8 \Rightarrow x = -2\). D’Kubikwurzl is für olle reelle Zoihn definiert, aa für negative.

Biquadratische Gleichunga

A biquadratische Gleichung hod d’Form \(ax^4 + bx^2 + c = 0\). Se is rein quadratisch, wenn ma \(u = x^2\) substituiert. So reduziert si d’Gleichung auf a quadratische Gleichung in \(u\).

D’Methode im Schritt-Format: Setz \(u = x^2\). Lös \(au^2 + bu + c = 0\) noch \(u\). Für jede positive Lösung \(u\) güit dann \(x = \pm\sqrt{u}\).

Beispui biquadratische Gleichunga

Beispui 1: \(x^4 – 5x^2 + 4 = 0\). Substitution: \(u^2 – 5u + 4 = 0\). Noch Vieta: Summ \(5\), Produkt \(4\). Lösunga \(u = 1\) und \(u = 4\). Ruckkehr: \(x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\). \(x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\). Viere Lösunga: \(\pm 1, \pm 2\).

Beispui 2: \(x^4 – 13x^2 + 36 = 0\). Substitution: \(u^2 – 13u + 36 = 0\). Vieta: \(u = 4\) oda \(u = 9\). Lösunga: \(x = \pm 2\) und \(x = \pm 3\).

Beispui 3: \(x^4 – 2x^2 – 3 = 0\). Substitution: \(u^2 – 2u – 3 = 0\). Mitternachtsformel: \(u = \frac{2 \pm 4}{2}\), oiso \(u = 3\) oda \(u = -1\). ’s negative \(u\) vawerfn, weil \(x^2 \geq 0\). Lösunga: \(x = \pm\sqrt{3}\).

Anzoih vo Lösunga bei biquadratische Gleichunga

Je nach Vorzeichen vo de \(u\)-Wert gibt’s unterschiedlich vui reelle Lösunga:

Zwoa positive \(u\)-Wert: viere reelle \(x\)-Lösunga.

A positive, a negative \(u\)-Lösung: zwoa reelle \(x\)-Lösunga.

Zwoa negative \(u\)-Wert: koa reelle \(x\)-Lösunga.

A \(u\)-Wert gleich null: dann gibt’s a Doppellösung bei \(x = 0\).

Visualisierung: Graph vo am kubische Polynom

Kubische Gleichunga mit doppelte Nuistelln

Manchmoi hod a kubische Gleichung ned drei vaschiedne Nuistelln, sondan a doppelte Nuistell.

Beispui: \(x^3 – 3x^2 + 4 = 0\). Probieren: \(x = -1\) liefat \(-1 – 3 + 4 = 0\). Guat. Polynomdivision durch \((x+1)\) gibt \(x^2 – 4x + 4 = (x-2)^2\). Lösunga vo da quadratische Gleichung: \(x = 2\) (doppelt). Gesamtlösunga: \(x = -1\) und \(x = 2\) (letzteres doppelt).

Höhere Potenzn: allgemoane Strategie

Für Polynome höhern Grades (etwa \(4\) oda \(5\)) kombiniert ma d’Techniken. Meistns is ’s Vorgehen:

Schritt 1: Prüfn, ob’s a konstantes Glied gibt oda \(x\) ausklammert wean ko.

Schritt 2: Wenn miaglich, Substitution nutzn (etwa bei biquadratische Gleichunga).

Schritt 3: A Nuistell ratn unta de Teila vom konstantn Glied.

Schritt 4: Polynomdivision durchführen, um den Grad zum senkn.

Schritt 5: D’Schritt wiederhoin, bis ma a quadratische oda lineare Gleichung übrig hod.

Awendungsbeispui: Nuistelln vo ana ganzrationale Funktion

Gebm: \(f(x) = x^3 – 4x^2 + x + 6\). Find olle Nuistelln.

Teila vom konstantn Glied \(6\): \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\). Prüfn: \(f(-1) = -1 – 4 – 1 + 6 = 0\). Passt.

Polynomdivision: \(x^3 – 4x^2 + x + 6 : (x+1) = x^2 – 5x + 6\).

Quadratische Gleichung: Vieta liefat \(x = 2\) und \(x = 3\).

Gesamt: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 2\), \(x_3 = 3\).

Substitution bei andre Forme

Ned bloß biquadratische Gleichunga eignan si für Substitution. Überoi, wo a Ausdruck zwoamoi vorkimmt, ko ma substituiern.

Beispui: \((x^2 + 1)^2 – 5(x^2 + 1) + 6 = 0\). Substitution \(u = x^2 + 1\): \(u^2 – 5u + 6 = 0\). Lösunga \(u = 2\) oda \(u = 3\). Ruckkehr: \(x^2 + 1 = 2 \Rightarrow x = \pm 1\). \(x^2 + 1 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}\).

Häufige Fehla

Fehla 1: Bei da Ruckkehr de Wurzln ned beide nehma. \(x^2 = 4\) gibt \(x = \pm 2\), ned bloß \(x = 2\).

Fehla 2: Negative \(u\)-Wert bei biquadratische Gleichunga übersehn. Se liefan koa reelle Lösunga.

Fehla 3: Beim Ratn bloß positive Zoihn probieren. Aa negative Teila vom konstantn Glied müassen prüft wean.

Fehla 4: D’Polynomdivision foisch durchführen, weil d’Spoitn bei fehlenden Potenzn ned richtig ausgrichtet san.

A a weng schwieriger’s Beispui

Lös \(2x^3 – x^2 – 13x – 6 = 0\).

Konstantes Glied \(-6\), Koeffizient vo \(x^3\) is \(2\). Miagliche rationale Nuistelln: Teila vo \(6\) teilt durch Teila vo \(2\). Oiso \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 1/2, \pm 3/2\).

Probieren: \(f(3) = 54 – 9 – 39 – 6 = 0\). Passt, \(x = 3\) is Nuistell.

Polynomdivision: \(2x^3 – x^2 – 13x – 6 : (x – 3) = 2x^2 + 5x + 2\).

Quadratische Gleichung: \(2x^2 + 5x + 2 = 0\). Mitternachtsformel: \(x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 – 16}}{4} = \frac{-5 \pm 3}{4}\). Lösunga: \(x = -1/2\) oda \(x = -2\).

Gesamt: \(x \in \{-2, -1/2, 3\}\).

Schluss

Kubische Gleichunga löst ma im Abitur standardmäßig, indem ma a Nuistell raat, den Grad durch Polynomdivision senkt und dann d’resultierende quadratische Gleichung löst. Biquadratische Gleichunga san eigentlich quadratische Gleichunga in Vakleidung, de ma durch Substitution \(u = x^2\) knackt. Beide Vafahrn san systematisch und mit a weng Übung schnell anwendbar. Wichtig is d’Ruah, mit dera ma d’Teila vom konstantn Glied durchprobiert, und d’Sorgfoit bei da Polynomdivision. De Techniken san im Abitur Standardrepertoire für d’Kurvndiskussion vo ganzrationale Funktionen.