Quadratische Gleichunga (Faktorisierung, quadratische Ergänzung, Mitternachtsformel)

Quadratische Gleichunga gheern zu de wichtigstn Werkzeig vo da ganzn Mathematik. Ma begegnet eana überoi: bei Nuistelln vo quadratische Funktionen, bei Extremwertaufgabn, bei Geometrieproblemen, sogar in da Stochastik. Fürs bayerische Abitur muaßt quadratische Gleichunga sicha und schnell lösn kenna. Es gibt mehrane Vafahrn, und je noch Aufgab is moi des oane, moi des andre gieget.

Wos is a quadratische Gleichung?

A quadratische Gleichung hod d’allgemoane Form \(ax^2 + bx + c = 0\) mit \(a \neq 0\). De höchste Potenz vo da Variable is \(2\). Je nach Koeffizientn \(a\), \(b\), \(c\) hod d’Gleichung koa, oane oda zwoa reelle Lösunga.

Beispui: \(x^2 – 5x + 6 = 0\), \(2x^2 – 8 = 0\), \(x^2 + 4x + 5 = 0\). Olle san quadratisch.

Normalform

Durchs Teiln vo da ganzn Gleichung durch \(a\) kriagt ma d’Normalform \(x^2 + px + q = 0\). Für vui Vafahrn is de Form nützlich.

Beispui: \(3x^2 + 12x – 15 = 0\). Durch \(3\) teiln: \(x^2 + 4x – 5 = 0\). Jetzt is \(p = 4\) und \(q = -5\).

Vafahrn 1: Faktorisierung

Wenn ’s quadratische Polynom oafach zu faktorisieren is, is des oft da schnellste Weg. Ma nutzt d’Nuiproduktregl: A Produkt is null genau dann, wenn mindstns oana vo de Faktorn null is.

Beispui: \(x^2 – 5x + 6 = 0\). Mit Vieta: Zwoa Zoihn mit Summ \(5\) und Produkt \(6\) san \(2\) und \(3\). Faktorisiert: \((x-2)(x-3) = 0\). Lösunga: \(x = 2\) oda \(x = 3\).

Beispui ohne konstantes Glied: \(x^2 – 4x = 0\). Ausklammern: \(x(x-4) = 0\). Lösunga: \(x = 0\) oda \(x = 4\).

Beispui mit binomischa Formel: \(x^2 – 9 = 0\). Dritte binomische Formel: \((x-3)(x+3) = 0\). Lösunga: \(x = \pm 3\).

Vafahrn 2: Quadratische Ergänzung

D’quadratische Ergänzung formt des Polynom so um, dass a voiständige binomische Formel entsteht. Se is d’Herleitung vo da pq-Formel und oft in Klausurn vaoangt.

Beispui: \(x^2 + 6x + 5 = 0\). Mittleres Glied: \(6x = 2 \cdot x \cdot 3\), oiso ergänzn ma \(3^2 = 9\): \(x^2 + 6x + 9 – 9 + 5 = 0 \Leftrightarrow (x+3)^2 – 4 = 0 \Leftrightarrow (x+3)^2 = 4\). Wurzl: \(x + 3 = \pm 2\). Lösunga: \(x = -1\) oda \(x = -5\).

Nu a Beispui: \(x^2 – 4x – 5 = 0\). Ergänzn: \(x^2 – 4x + 4 – 4 – 5 = 0 \Leftrightarrow (x-2)^2 = 9\). Wurzl: \(x – 2 = \pm 3\). Lösunga: \(x = 5\) oda \(x = -1\).

Vafahrn 3: pq-Formel

Für Gleichunga in da Normalform \(x^2 + px + q = 0\) güit:

\(x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q}\).

Beispui: \(x^2 + 6x + 5 = 0\). Do is \(p = 6\), \(q = 5\). Einsetzn: \(x = -3 \pm \sqrt{9 – 5} = -3 \pm 2\). Lösunga: \(x = -1\) oda \(x = -5\).

Beispui mit Bruchlösunga: \(x^2 – 3x – 2 = 0\). \(p = -3\), \(q = -2\). \(x = \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} + 2} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}\).

Vafahrn 4: Mitternachtsformel

D’Mitternachtsformel (aa abc-Formel gnannt) funktioniert direkt für d’allgemoane Form \(ax^2 + bx + c = 0\), ohne vorher teiln zum müassen:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\).

Da Ausdruck \(b^2 – 4ac\) unta da Wurzl hoaßt Diskriminante \(D\). Je nach Vorzeichen:

\(D > 0\): Zwoa reelle Lösunga.

\(D = 0\): Oane (doppelte) reelle Lösung.

\(D < 0[/latex]: Koa reelle Lösung.

Beispui: [latex]2x^2 – 7x + 3 = 0\). \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\). \(D = 49 – 24 = 25\). \(x = \frac{7 \pm 5}{4}\). Lösunga: \(x = 3\) oda \(x = 1/2\).

Visualisierung: Graph und Nuistelln

Satz vom Vieta

Da Satz vom Vieta gibt an Zammhang zwischn de Lösunga und de Koeffizientn vo da Normalform \(x^2 + px + q = 0\): San \(x_1, x_2\) d’Lösunga, dann güit \(x_1 + x_2 = -p\) und \(x_1 \cdot x_2 = q\).

Des is extrem nützlich, um Lösunga schnell zum ratn oda zum überprüfen. Beispui: \(x^2 – 7x + 12 = 0\). Gsuacht zwoa Zoihn mit Summ \(7\) und Produkt \(12\). Antwort: \(3\) und \(4\). Lösunga ohne Gerechn.

Biquadratische Gleichunga

Gleichunga vo da Form \(ax^4 + bx^2 + c = 0\) ko ma durch Substitution \(u = x^2\) auf a quadratische Gleichung reduziern.

Beispui: \(x^4 – 5x^2 + 4 = 0\). Substitution: \(u^2 – 5u + 4 = 0\). Vieta: \(u = 1\) oda \(u = 4\). Ruckkehr: \(x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\). \(x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\). Viere Lösunga: \(\pm 1, \pm 2\).

Welches Vafahrn wann?

Wenn du d’Faktorisierung sofort siagst (kloane ganzzohlige Koeffizientn), nimm se. Is am schnellstn.

Wenn d’Mitternachtsformel direkt anwendbar is, nutz se. Funktioniert oiwei.

D’pq-Formel is praktisch, wenn d’Gleichung scho in Normalform is.

D’quadratische Ergänzung nutzt ma, wenn nach da Scheitelform gfragt is oda wenn ma se didaktisch zoagn soi.

Awendunga im Abitur

Quadratische Gleichunga san überoi. Bei da Nuistellnsuach vo ana Parabel. Beim Bstimma vom Scheitel vo ana quadratische Funktion (mit quadratischa Ergänzung). Bei Optimierungsaufgabn. Beim Bstimma vo Schnittpunkt vo zwoa Graphn.

Beispui für Schnittpunkt: Wo schneidn si \(f(x) = x^2 + 1\) und \(g(x) = 2x + 4\)? Gleichsetzn: \(x^2 + 1 = 2x + 4\), oiso \(x^2 – 2x – 3 = 0\). Vieta: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -1\). De Schnittpunkt san \((3, 10)\) und \((-1, 2)\).

Komplexere Beispui

Beispui 1: Lös \((x – 2)^2 = 16\). Wurzl: \(x – 2 = \pm 4\). Lösunga: \(x = 6\) oda \(x = -2\).

Beispui 2: Lös \(\frac{x^2 – 4}{x + 1} = x – 2\). Moirechna: \(x^2 – 4 = (x-2)(x+1) = x^2 – x – 2\). Oiso \(-4 = -x – 2\), oiso \(x = 2\). Prüfung Definitionsbereich: \(x + 1 \neq 0\), passt.

Beispui 3: Extremwert. D’Funktion \(f(x) = -x^2 + 6x – 5\) hod wo ihr Maximum? Scheitelform durch quadratische Ergänzung: \(-(x^2 – 6x) – 5 = -(x^2 – 6x + 9 – 9) – 5 = -(x-3)^2 + 9 – 5 = -(x-3)^2 + 4\). Scheitel bei \(x = 3\), Maximum \(y = 4\).

Häufige Fehla

Fehla 1: D’Mitternachtsformel mit foische Vorzeichen anwendn. \(b = -7\) und ned \(b = 7\), wenn \(-7x\) in da Gleichung steht.

Fehla 2: Bei da pq-Formel ’s \(p/2\) quadrieren und gleichzeitig ’s Vorzeichen vagessn.

Fehla 3: Des \(x^2\) und ’s \(x\) wüid vawechsln. D’Gleichung \(x^2 = 4\) hod zwoa Lösunga, \(x = \pm 2\), ned bloß \(x = 2\).

Fehla 4: Den Definitionsbereich bei Bruchgleichunga ned prüfn.

Herleitung vo da Mitternachtsformel

D’Mitternachtsformel foigt aus da quadratische Ergänzung. Aus \(ax^2 + bx + c = 0\) teiln ma durch \(a\): \(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\). Ergänzung mit \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\): \(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} – \frac{c}{a} = \frac{b^2 – 4ac}{4a^2}\). Wurzl: \(x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\). Umstelln: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\).

Schluss

Quadratische Gleichunga bietn mehrane Lösungsweg, und da geübte Schüla wählt den passadn je nach Aufgab. ’s Faktorisieren is elegant und schnell bei oafache Zoihn. D’Mitternachtsformel is ’s zuverlässige Werkzeig für jedn Foi. D’quadratische Ergänzung liefat d’Scheitelform und is d’Herleitungsbasis. Da Satz vom Vieta bietet a Kontrolle und oft a blitzschnelle Lösung. Wea olle de Techniken beherrscht, löst quadratische Gleichunga in Sekundn und gewinnt Zeit für de schwieriga Teil vo ana Abituraufgab.