Polynomiale Langdivision

D’Polynomdivision, aa ois polynomiale Langdivision bekannt, is a fundamentales Vafahrn, mit dem Polynome durcheinand teilt wean. Se is ’s Gegnstück zur schriftlichn Division bei Zoihn und wead im bayerische Abitur vor oim do brauchat, wenn ma höhergradige Polynome faktorisieren oda Nuistelln finden mog. Wenn a Nuistell bekannt oda gratn is, erlaubt’s d’Polynomdivision, ’s Polynom zum zerlegen und de weiteren Nuistelln zum finden.

Grundprinzip

Bei da Division vo zwoa Zoihn schreibt ma: \(a : b = c\) Rest \(r\). Bei Polynome is ’s gnauso: \(P(x) : D(x) = Q(x)\) Rest \(R(x)\). Dabei hoaßt \(P\) ’s Dividendnpolynom, \(D\) da Divisor, \(Q\) da Quotient und \(R\) da Rest. Für den Grad güit: Grad vo \(R\) is kloana ois Grad vo \(D\).

Wenn da Rest null is, oiso \(R(x) = 0\), dann teilt \(D\) ’s Polynom \(P\) glatt, und ma ko \(P(x) = D(x) \cdot Q(x)\) schreibm. Des is a Faktorisierung.

Voraussetzung: sortiertes Polynom

Bevor’st aafangst, sortierst ’s Polynom noch foillnde Potenzn und füllst fehlende Potenzn mit’m Koeffizient Null auf. So vameidest späta Fehla beim Ausrichtn vo de Terme.

Beispui: Aus \(2x^3 + 5 – 7x\) wead \(2x^3 + 0 \cdot x^2 – 7x + 5\).

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Ma teilt zum Beispui \(P(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6\) durch \(D(x) = x – 1\).

Schritt 1: Teil den erstn Term vom Dividend durchn erstn Term vom Divisor. \(x^3 : x = x^2\). Des is da erste Term vom Quotient.

Schritt 2: Moirechna den Divisor mit dem Quotiententerm. \((x-1) \cdot x^2 = x^3 – x^2\).

Schritt 3: Minusrechna vom Dividend. \((x^3 – 6x^2 + 11x – 6) – (x^3 – x^2) = -5x^2 + 11x – 6\).

Schritt 4: Wiederhoin mit’m neien Term. \(-5x^2 : x = -5x\). Des is da nächste Term vom Quotient.

Schritt 5: Moirechna: \((x-1) \cdot (-5x) = -5x^2 + 5x\).

Schritt 6: Minusrechna: \((-5x^2 + 11x – 6) – (-5x^2 + 5x) = 6x – 6\).

Schritt 7: Nu amoi: \(6x : x = 6\). Moirechna: \((x-1) \cdot 6 = 6x – 6\). Minusrechna: \((6x – 6) – (6x – 6) = 0\).

Ergebnis: \(Q(x) = x^2 – 5x + 6\), Rest \(0\). Oiso \(x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = (x-1)(x^2 – 5x + 6)\).

Des Ergebnis weida zerlegen

Des quadratische Restpolynom \(x^2 – 5x + 6\) losst si weida faktorisieren. Noch Vieta: Zwoa Zoihn mit Summ \(5\) und Produkt \(6\) san \(2\) und \(3\). Oiso \((x-2)(x-3)\).

Gesamtfaktorisierung: \(x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = (x-1)(x-2)(x-3)\). Nuistelln: \(1, 2, 3\).

Wann nutzt ma Polynomdivision?

D’Polynomdivision wead im Abitur meistns in drei Situationen vawendt. Erstns: Zur Nuistellnsuach bei Polynome drittn oda höhern Grades. Ma raat a ganzzohlige Nuistell (meistns unta de Teila vom konstantn Glied) und teilt durch den zughörign Linearfaktor.

Zwoatens: Beim Untersucha vo gebrochen-rationale Funktionen, um a schrage Asymptote zum bstimma.

Drittens: Bei Integration vo gebrochen-rationale Funktionen, wenn da Grad vom Zähla mindstns so groß is wia da vom Nenna.

Visualisierung: Schema vo da Polynomdivision

A Beispui mit Rest

Teil \(x^3 + 2x^2 – x + 3\) durch \(x + 2\).

\(x^3 + 2x^2 – x + 3\) gordnet teilt durch \(x + 2\).

\(x^3 : x = x^2\). \(x^2 \cdot (x+2) = x^3 + 2x^2\). Obziehn: \(0 \cdot x^2 – x + 3 = -x + 3\).

\(-x : x = -1\). \(-1 \cdot (x+2) = -x – 2\). Obziehn: \(-x+3 – (-x-2) = 5\).

Ergebnis: \(x^3 + 2x^2 – x + 3 = (x+2)(x^2 – 1) + 5\). Rest: \(5\).

Zammhang mit’m Restsatz

A wichtiger Satz: Wenn ma a Polynom \(P(x)\) durch \(x – a\) teilt, is da Rest genau \(P(a)\). Des hoaßt: De Zoih \(a\) is genau dann Nuistell vo \(P\), wenn da Rest bei Division durch \(x – a\) null is.

Beispui: \(P(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6\). \(P(1) = 1 – 6 + 11 – 6 = 0\). Oiso is \(x = 1\) Nuistell, Division durch \(x – 1\) gibt Rest \(0\). Dees hamma obn bstätigt.

Dees Restsatz spart oft Zeit: Anstatt d’Polynomdivision probeweis durchzuführen, rechnet ma oafach \(P(a)\) aus.

Horner-Schema ois Oidanative

’s Horner-Schema is a kompaktere Variante vo da Polynomdivision, speziell für d’Division durch \(x – a\). Es reduziert d’Rechnung auf reine Zoihnoperationen ohne \(x\)-Terme.

Für \(P(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6\) und \(a = 1\):

Koeffizientn: \(1, -6, 11, -6\). Schema: \(1 \to 1 \cdot 1 + (-6) = -5 \to -5 \cdot 1 + 11 = 6 \to 6 \cdot 1 + (-6) = 0\). Quotient: \(1 x^2 – 5 x + 6\), Rest \(0\). Gleiches Ergebnis.

Awendung: Nuistelln vo am Polynom viertn Grades

Sei \(P(x) = x^4 – 10x^2 + 9\). Gsuacht: olle Nuistelln.

Do geht’s ohne Polynomdivision zerscht oafacha, durch Substitution \(u = x^2\): \(u^2 – 10u + 9 = 0\), oiso \((u-1)(u-9) = 0\), oiso \(u = 1\) oda \(u = 9\). Ruckkehr: \(x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\). \(x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3\). Viere Nuistelln: \(\pm 1, \pm 3\).

Ma hätt aa mit Polynomdivision arbeitn kenna: \(P(1) = 1 – 10 + 9 = 0\), oiso \(x = 1\) Nuistell. Division durch \(x – 1\) gibt a kubisches Polynom, und so weida. Beide Weg führn zum Ziel.

Häufige Fehla

Fehla 1: Fehlende Potenzn ned auffülln. Wenn im Dividend da \(x^2\)-Term fehlt, muaß ma \(0 \cdot x^2\) schreibm, sunst rutschn d’Spoitn bei da Minusrechnung.

Fehla 2: Beim Minusrechna Vorzeichen vagessn. Oiwei d’Klammer um den obzziehnden Term setzn, olle Vorzeichen umdrahn.

Fehla 3: Rest foisch interpretieren. Da Rest hod oiwei an kloanern Grad ois da Divisor.

Kontrolle durchs Moirechna

Noch jeder Polynomdivision zoit si a Probe durchs Ruckmoirechna: \(D(x) \cdot Q(x) + R(x)\) soi gleich \(P(x)\) sei.

Beispui: \((x-1)(x^2 – 5x + 6) = x^3 – 5x^2 + 6x – x^2 + 5x – 6 = x^3 – 6x^2 + 11x – 6\). Stimmt mit’m Originalpolynom überein.

Zammfassung

D’Polynomdivision is a strukturelles Vafahrn, des nach am festn Schema obläuft: Erstn Term teiln, ruckmoirechna, minusrechna und wiederhoin, bis da Rest an kloanern Grad ois da Divisor hod. Se is unverzichtbar fürs Faktorisieren vo höhergradigen Polynome und damit für d’Nuistellnsuach. Mit a weng Übung wead’s Schema zur Routine. Wea Polynomdivision beherrscht, ko Polynome vo jedn Grad zerlegen, sofern ma a Nuistell findt. Kombiniert mit’m Restsatz is sie oans vo de mächtigstn Werkzeig vo da Oberstufnmathematik.