Logarithmusgsetz (Produktregl, Quotientenregl, Potenzregl)

Logarithmen san d’Umkehrung vo da Potenzrechnung. Wennst wissn woistst, wia oft du a bstimmte Basis mit si selba moinehma muaßt, um a bstimmts Ergebnis zum kriagn, dann fragst nach’m Logarithmus. Se spuin in da Oberstuf a zentrale Roin, bsonders bei Exponentialgleichunga, bei Zerfalls- und Wachstumsprozess und bei Lösunga in da Analysis. D’Logarithmusgsetz bauan elegant auf de Potenzgsetz auf und san deren Spiegelbüd.

Definition vom Logarithmus

Da Logarithmus vo \(x\) zur Basis \(a\), gschriebn \(\log_a(x)\), is de Zoih, mit dera ma \(a\) potenzieren muaß, um \(x\) zum kriagn:

\(\log_a(x) = y \quad \Leftrightarrow \quad a^y = x\).

Dabei muaß \(a > 0\), \(a \neq 1\) und \(x > 0\) sei. Für \(x \leq 0\) is da Logarithmus ned definiert.

Beispui: \(\log_2(8) = 3\), weil \(2^3 = 8\). \(\log_{10}(1000) = 3\), weil \(10^3 = 1000\). \(\log_3(81) = 4\), weil \(3^4 = 81\). \(\log_5(1) = 0\), weil \(5^0 = 1\).

Spezielle Logarithmen

Im Aitog und in da Mathematik san drei Logarithmen bsonders wichtig:

Dekadischa Logarithmus zur Basis 10: \(\log_{10}(x) = \lg(x)\).

Natürlicha Logarithmus zur Basis \(e \approx 2{,}71828\): \(\log_e(x) = \ln(x)\).

Zweier-Logarithmus zur Basis 2: \(\log_2(x) = \text{lb}(x)\) oda \(\text{ld}(x)\).

Fürs bayerische Abitur is vor oim da natürliche Logarithmus \(\ln\) relevant. Er tritt oiwei auf, wenn ma mit Exponentialfunktionen \(e^x\) arbat.

De Logarithmusgsetz

De drei wichtigstn Gsetz ergebn si direkt aus de Potenzgsetz:

Produktregl: \(\log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y)\).

Quotientenregl: \(\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) – \log_a(y)\).

Potenzregl: \(\log_a(x^n) = n \cdot \log_a(x)\).

D’Produktregl vawandelt a Produkt in a Summ, d’Quotientenregl an Quotient in a Differenz, d’Potenzregl ziagt den Exponent ois Faktor raus. Des is d’unvagleichliche Stärke vom Logarithmus: Er rechnet a Produkt um in a Summ, de vui leichta zum handhabn is.

Herleitung vo da Produktregl

Setz \(x = a^m\) und \(y = a^n\). Dann is \(\log_a(x) = m\) und \(\log_a(y) = n\). ’s Produkt: \(x \cdot y = a^m \cdot a^n = a^{m+n}\). Oiso \(\log_a(x \cdot y) = m + n = \log_a(x) + \log_a(y)\).

Beispui zu de Logarithmusgsetz

Beispui 1: \(\log_2(32) = \log_2(4 \cdot 8) = \log_2(4) + \log_2(8) = 2 + 3 = 5\). Probe: \(2^5 = 32\).

Beispui 2: \(\log_3(9/27) = \log_3(9) – \log_3(27) = 2 – 3 = -1\). Probe: \(3^{-1} = 1/3\), und \(9/27 = 1/3\).

Beispui 3: \(\log_5(125) = \log_5(5^3) = 3 \cdot \log_5(5) = 3 \cdot 1 = 3\).

Beispui 4: \(\ln(e^7) = 7 \cdot \ln(e) = 7\).

Wichtige Sunderwert

De Wert soitst auswendig kenna:

\(\log_a(1) = 0\) für jede erlaubte Basis. Weil \(a^0 = 1\).

\(\log_a(a) = 1\). Weil \(a^1 = a\).

\(\log_a(a^n) = n\).

\(a^{\log_a(x)} = x\). Des is da Kern vo da Umkehrbeziehung.

Basiswechsl

Manchmoi muaß ma an Logarithmus auf a andre Basis umrechna. Dafür gibt’s d’Basiswechslformel: \(\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\).

Beispui: \(\log_2(7) = \frac{\ln(7)}{\ln(2)}\). Mit’m Taschenrechner: \(\log_2(7) \approx \frac{1{,}946}{0{,}693} \approx 2{,}807\).

Exponentialgleichunga

Logarithmen san ’s Hauptwerkzeig, um Exponentialgleichunga zum lösn. D’Idee: Beide Seitn logarithmieren und dann d’Potenzregl anwendn.

Beispui 1: \(2^x = 10\). Logarithmieren: \(\ln(2^x) = \ln(10)\), oiso \(x \cdot \ln(2) = \ln(10)\), oiso \(x = \frac{\ln(10)}{\ln(2)} \approx 3{,}32\).

Beispui 2: \(e^{2x} = 5\). Logarithmieren mit \(\ln\): \(2x = \ln(5)\), oiso \(x = \frac{\ln(5)}{2} \approx 0{,}805\).

Beispui 3: \(3 \cdot 2^x = 48\). Zerscht teiln: \(2^x = 16\). Des kannst do direkt dakenna: \(x = 4\).

Visualisierung: Logarithmusfunktion

D’Logarithmusfunktion wachst langsam und geht gegn minus unendli, wenn \(x\) gegn null geht. Se is für olle \(x > 0\) definiert und hod bei \(x = 1\) den Wert \(0\).

Awendunga in da Praxis

Logarithmen tauchan in viele naturwissenschaftliche Zammhäng auf. Da pH-Wert in da Chemie: \(\text{pH} = -\lg([\text{H}^+])\). D’Dezibel-Skala für d’Lautstärke is logarithmisch. D’Richterskala für Erdbebn aa. Beim radioaktive Zerfall braucht ma den Logarithmus, um d’Hoibwertszeit zum bstimma.

Beispui Hoibwertszeit: A radioaktives Material zerfoit noch \(N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}\). Hoibwertszeit \(T\) wead erreicht, wenn \(N(T) = N_0/2\). Oiso \(e^{-\lambda T} = 1/2\), logarithmieren: \(-\lambda T = \ln(1/2) = -\ln(2)\), oiso \(T = \frac{\ln(2)}{\lambda}\).

Gmischte Rechnbeispui

Beispui 1: Vereinfach \(\ln(x^2) + \ln(x^3) – \ln(x)\). Noch Produkt- und Quotientenregl: \(\ln(x^2 \cdot x^3 / x) = \ln(x^4) = 4 \ln(x)\).

Beispui 2: Vereinfach \(\log_2(16) + \log_2(4) – \log_2(8)\). Zammfassn: \(\log_2(16 \cdot 4 / 8) = \log_2(8) = 3\). Oida einzeln: \(4 + 2 – 3 = 3\).

Beispui 3: Lös \(\ln(x) + \ln(x+1) = \ln(6)\). Produktregl links: \(\ln(x(x+1)) = \ln(6)\), oiso \(x(x+1) = 6\), oiso \(x^2 + x – 6 = 0\). Lösunga: \(x = 2\) oda \(x = -3\). Weil \(x > 0\) sei muaß, kimmt bloß \(x = 2\) in Frag.

Häufige Fehla

Fehla 1: \(\log(a + b) \neq \log(a) + \log(b)\). D’Produktregl güit bloß für Produkte im Argument, ned für Summan.

Fehla 2: \(\log(a) \cdot \log(b) \neq \log(a \cdot b)\). Aa des is foisch.

Fehla 3: \((\log(a))^n \neq n \cdot \log(a)\). D’Potenzregl güit, wenn d’Potenz im Argument steht, ned außn.

Fehla 4: Den Definitionsbereich vagessn. \(\ln(x)\) is bloß für \(x > 0\) definiert.

A anspruchsvolle Aufgab

Lös \(2 \cdot e^{2x} – 5 \cdot e^x + 2 = 0\).

Substitution \(u = e^x\): \(2u^2 – 5u + 2 = 0\). Mitternachtsformel: \(u = \frac{5 \pm \sqrt{25 – 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}\), oiso \(u_1 = 2\), \(u_2 = 1/2\).

Ruckkehr: \(e^x = 2\) gibt \(x = \ln(2)\). \(e^x = 1/2\) gibt \(x = \ln(1/2) = -\ln(2)\).

Schluss

Logarithmen san d’Umkehrung vo de Potenzn und damit ’s Hauptwerkzeig zum Lösn vo Exponentialgleichunga. De drei Gsetz, Produkt-, Quotienten- und Potenzregl, san d’Basis. Da natürliche Logarithmus \(\ln\) is im Abitur da wichtigste. Mit de Regln kannst komplizierte Ausdrück in übersichtliche Summan und Differenzn umwandeln, Wachstumsprozess analysieren und jede Exponentialgleichung knacka. Üben, üben, üben hoaßt d’Devise, weil vui Abituraufgabn de entscheidende logarithmische Umformung in da Mittn vo ana längern Rechnung vastecka.