Bruchterme: Kürzn, Erweitern, Plusrechna, Moirechna

Bruchterme san Terme, in dena Variablen im Nenna stengan. Se vahoiten si noch de gleichn Regln wia Zoihnbrüch, bloß muaßt zuasätzlich auf’n Definitionsbereich schaun. Da Nenna derf niemois null wean, weil ma durch null ned teiln ko. Bruchterme begegnan uns in da Oberstuf bständig, etwa bei gebrochen-rationale Funktionen, beim Bstimma vo Grenzwert oda beim Obleitn mit da Quotientenregl. Wea souverän mit eana umgeh ko, hod an großn Vorteil.

Definitionsbereich vo am Bruchterm

Bevor ma mit am Bruchterm rechnet, muaßt zerscht feststelln, welche Wert für d’Variable ned zulässig san. De Wert hoaßn Definitionslückn. Du findst se, indem’st den Nenna gleich null setzt und d’Lösunga bstimmst.

Beispui 1: \(\frac{x+1}{x-3}\). Da Nenna wead null für \(x = 3\). Oiso \(D = \mathbb{R} \setminus \{3\}\).

Beispui 2: \(\frac{2x}{x^2 – 4}\). Da Nenna is \(x^2 – 4 = (x+2)(x-2)\). Nuistelln: \(x = 2\) und \(x = -2\). Oiso \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}\).

Beispui 3: \(\frac{5}{x^2 + 1}\). Da Nenna \(x^2 + 1\) is oiwei positiv, niemois null. Definitionsbereich: ganz \(\mathbb{R}\).

Kürzn vo Bruchterme

Kürzn hoaßt, dass ma Zähla und Nenna durch den gleichn Faktor teilt. De goidene Regl: Ma derf bloß Faktorn kürzn, niemois Summandn. Damit kürzn überhaupts miaglich is, müassen Zähla und Nenna ois Produkt vorliegn. Drum is ’s Faktorisieren da erste Schritt zum Kürzn.

Beispui 1: \(\frac{6x^2}{9x} = \frac{2x}{3}\). Kürzt wurd durch \(3x\).

Beispui 2: \(\frac{x^2 – 4}{x + 2} = \frac{(x+2)(x-2)}{x+2} = x – 2\). Do wurd da Term \((x+2)\) kürzt.

Beispui 3: \(\frac{x^2 – 1}{x^2 + 2x + 1} = \frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2} = \frac{x-1}{x+1}\) für \(x \neq -1\).

A typischa Fehla: \(\frac{x+3}{x+5}\) derf ned zu \(\frac{3}{5}\) kürzt wean. Zähla und Nenna san Summan, koane Produkte.

Erweitern vo Bruchterme

Erweitern is ’s Gegnstück zum Kürzn. Zähla und Nenna wean mit’m gleichn Term moigenumma. Da Wert vom Bruch ändat si dadurch ned, bloß seine Darstellung. Erweitern brauchst vor oim, um mehrane Brüch auf an gmoansamen Nenna zum bringa.

Beispui: \(\frac{2}{x} = \frac{2(x+1)}{x(x+1)}\). Do wurd mit \((x+1)\) erweitert.

Hauptnenna büdn

Beim Plus- und Minusrechna vo Brüch brauchst an gmoansamen Nenna. Da effizienteste is da Hauptnenna, oiso ’s kloanste gmoansame Vielfache vo de Einzelnenna.

Beispui 1: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}\). Hauptnenna: \(x(x+1)\). Da erste Bruch wead erweitert: \(\frac{1 \cdot (x+1)}{x(x+1)} = \frac{x+1}{x(x+1)}\). Da zwoate: \(\frac{1 \cdot x}{x(x+1)} = \frac{x}{x(x+1)}\). Summ: \(\frac{x+1+x}{x(x+1)} = \frac{2x+1}{x(x+1)}\).

Beispui 2: \(\frac{1}{x-2} + \frac{2}{x^2-4} = \frac{1}{x-2} + \frac{2}{(x+2)(x-2)}\). Hauptnenna: \((x+2)(x-2)\). Da erste Bruch wead mit \((x+2)\) erweitert: \(\frac{x+2}{(x+2)(x-2)}\). Summ: \(\frac{x+2+2}{(x+2)(x-2)} = \frac{x+4}{(x+2)(x-2)}\).

Moirechna vo Bruchterme

Beim Moirechna wean Zähla moi Zähla und Nenna moi Nenna genumma. Ma braucht koan gmoansamen Nenna. Oft is sinnvoi, vor’m Moirechna zum kürzn.

Beispui 1: \(\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} = \frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 9} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}\). Oida scho vorher kürzn: \(\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} = \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\).

Beispui 2: \(\frac{x+1}{x-2} \cdot \frac{x-2}{x+3} = \frac{(x+1)(x-2)}{(x-2)(x+3)} = \frac{x+1}{x+3}\) für \(x \neq 2\) und \(x \neq -3\).

Beispui 3: \(\frac{x^2 – 9}{x+2} \cdot \frac{x+2}{x-3} = \frac{(x+3)(x-3)(x+2)}{(x+2)(x-3)} = x+3\).

Teiln vo Bruchterme

Teiln hoaßt Moirechna mit’m Kehrwert. ’s Vorgehn is oiso: Den zwoatn Bruch umdrahn und moinehma.

Beispui 1: \(\frac{3}{5} : \frac{2}{7} = \frac{3}{5} \cdot \frac{7}{2} = \frac{21}{10}\).

Beispui 2: \(\frac{x+1}{x-1} : \frac{x+1}{x+2} = \frac{x+1}{x-1} \cdot \frac{x+2}{x+1} = \frac{x+2}{x-1}\), wobei \(x \neq 1, -1, -2\).

Doppelbrüch

A Doppelbruch enthält an Bruch im Zähla, im Nenna oda in beidn. De Vereinfachung geht wieder iba’n Kehrwert.

Beispui: \(\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}\). Merkspruch: Außnglieder moinehma, durchs Produkt vo de Innaglieder teiln.

Konkretes Beispui: \(\frac{\frac{x+1}{x}}{\frac{x+1}{x^2}} = \frac{x+1}{x} \cdot \frac{x^2}{x+1} = \frac{x^2}{x} = x\) für \(x \neq 0\) und \(x \neq -1\).

Gmischte Rechnung

In da Praxis muaßt oft mehrane Operationen kombinieren. Dabei güit d’Rangfoig: Punkt vor Strich. Zerscht moirechna und teiln, dann plus- und minusrechna.

Beispui: \(\frac{2}{x} + \frac{3}{x} \cdot \frac{x}{2}\). Zerscht ’s Produkt: \(\frac{3}{x} \cdot \frac{x}{2} = \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}\). Dann d’Summ: \(\frac{2}{x} + \frac{3}{2}\). Auf Hauptnenna \(2x\) bringa: \(\frac{4}{2x} + \frac{3x}{2x} = \frac{3x+4}{2x}\).

Visualisierung: Gleiche Brüch, vaschiedne Darstellungen

Awendung in da Analysis

In da Oberstuf begegnan da Bruchterme oft bei gebrochen-rationale Funktionen. Zum Beispui hod \(f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}\) zerscht a Definitionslückn bei \(x = 1\). Kürzn gibt \(f(x) = x+1\) für \(x \neq 1\). D’Funktion hod oiso a hebbare Definitionslückn, da Graph is fast a Gradn, bloß da Punkt bei \(x=1\) fehlt.

Häufige Fehla

Fehla 1: Kürzn durch Summandn. \(\frac{x+2}{x+3}\) derf ma ned kürzn. ’s \(x\) steht ned ois Faktor.

Fehla 2: Beim Plusrechna vagessn, den Zähla zum erweitern, aba den Nenna scho anpassn. Beide gheern zam.

Fehla 3: Vorzeichen beim Minusrechna. \(\frac{a}{c} – \frac{b-1}{c} = \frac{a – b + 1}{c}\), ned \(\frac{a – b – 1}{c}\). ’s Minuszeichen güit für de ganze Klammer.

Fehla 4: Den Definitionsbereich vagessn. Aa nach’m Kürzn bleibm d’Lückn bstehn.

A anspruchsvolls Beispui

Vereinfach: \(\frac{1}{x-1} – \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x^2-1}\).

Da dritte Nenna faktorisiert zu \((x-1)(x+1)\). Da Hauptnenna is oiso \((x-1)(x+1)\). Erweitern: \(\frac{x+1 – (x-1) + 2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1-x+1+2}{(x-1)(x+1)} = \frac{4}{(x-1)(x+1)} = \frac{4}{x^2-1}\).

Zammfassung

Bruchterme san a mächtigs Werkzeig vo da Oberstufnmathematik. Zentrai san vier Operationen: Kürzn (bloß durch Faktorn, niemois durch Summandn), Erweitern (Zähla und Nenna gleich), Plus-/Minusrechna (zerscht Hauptnenna finden) und Moirechna (Zähla moi Zähla, Nenna moi Nenna). Am Anfang steht oiwei ’s Bstimma vom Definitionsbereich. Mit dene Werkzeig im Kopf kannst jede Aufgab mit Bruchterme systematisch bearbeiten, wuascht ob in Analysis, Geometrie oda Stochastik.