Koordinatendarstellung und Ortsvektor

Das kartesische Koordinatensystem im Raum

Die analytische Geometrie arbeitet im kartesischen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums. Drei paarweise senkrecht aufeinander stehende Achsen – die $ x_1 $-, $ x_2 $- und $ x_3 $-Achse (oder $ x $-, $ y $-, $ z $-Achse) – schneiden sich im Ursprung $ O = (0, 0, 0) $. Jeder Punkt $ P $ im Raum wird durch ein geordnetes Tripel $ (p_1, p_2, p_3) $ beschrieben, die Koordinaten von $ P $.

Die Koordinaten geben an, wie weit man vom Ursprung aus entlang jeder Achse gehen muss, um $ P $ zu erreichen. Dieses System ermöglicht es, geometrische Probleme in algebraische umzuwandeln und mit Rechenverfahren zu lösen – das ist der Kerngedanke der analytischen Geometrie.

Der Ortsvektor

Jedem Punkt $ P = (p_1, p_2, p_3) $ wird ein Ortsvektor $ \vec{p} = \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix} $ zugeordnet. Der Ortsvektor zeigt vom Ursprung zum Punkt $ P $ und identifiziert den Punkt eindeutig mit einem Vektor. Umgekehrt entspricht jeder Vektor genau einem Punkt, wenn man ihn als Ortsvektor auffasst.

Diese Zuordnung zwischen Punkten und Vektoren ist fundamental: Sie ermöglicht es, Punktoperationen durch Vektoroperationen auszudrücken. Anstatt mit Punkten zu rechnen, rechnet man mit deren Ortsvektoren und übersetzt die Ergebnisse zurück in geometrische Aussagen.

Verbindungsvektor und Ortsvektor

Der Verbindungsvektor von Punkt $ A $ nach Punkt $ B $ berechnet sich als Differenz der Ortsvektoren:

$$\overrightarrow{AB} = \vec{b} – \vec{a}$$

Dies ist die zentrale Rechenregel: „Spitze minus Fuß“. Der Verbindungsvektor zeigt von $ A $ nach $ B $ und hat die Komponenten $ (b_1-a_1, b_2-a_2, b_3-a_3) $.

Beispiel: Von $ A(2, 1, 4) $ nach $ B(5, -1, 3) $: $ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3\\-2\\-1\end{pmatrix} $.

Teilungspunkte

Der Mittelpunkt einer Strecke $ \overline{AB} $: $ M = \frac{1}{2}(A + B) $, also $ \vec{m} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) $.

Ein Punkt, der die Strecke $ \overline{AB} $ im Verhältnis $ \lambda : \mu $ teilt: $ \vec{t} = \frac{\mu \vec{a} + \lambda \vec{b}}{\lambda + \mu} $. Für den Mittelpunkt ist $ \lambda = \mu = 1 $.

Schwerpunkt eines Dreiecks mit Eckpunkten $ A, B, C $: $ \vec{s} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) $.

Beispiel: Schwerpunkt des Dreiecks $ A(0,0,0) $, $ B(6,0,0) $, $ C(0,6,0) $: $ S = (2, 2, 0) $.

Rechte-Hand-Regel und Orientierung

Im Standard-Koordinatensystem bilden die Einheitsvektoren $ \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3 $ ein Rechtssystem: Zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung $ \vec{e}_1 $, der Zeigefinger in Richtung $ \vec{e}_2 $, so zeigt der Mittelfinger in Richtung $ \vec{e}_3 $. Diese Orientierung ist wichtig für das Kreuzprodukt und die konsistente Beschreibung von Drehungen.

Koordinatendarstellung geometrischer Objekte

Die Koordinatendarstellung ermöglicht die algebraische Beschreibung aller geometrischen Objekte:

Punkt: Tripel $ (p_1, p_2, p_3) $ oder Ortsvektor $ \vec{p} $
Gerade: Parameterdarstellung $ \vec{x} = \vec{p} + t\vec{u} $
Ebene: Parameterform oder Koordinatenform $ ax_1 + bx_2 + cx_3 = d $
Kugel: $ (x_1-m_1)^2 + (x_2-m_2)^2 + (x_3-m_3)^2 = r^2 $

Koordinatenebenen und Koordinatenachsen

Die drei Koordinatenebenen werden durch jeweils eine Koordinate gleich null definiert: Die $ x_1x_2 $-Ebene ($ x_3 = 0 $), die $ x_1x_3 $-Ebene ($ x_2 = 0 $) und die $ x_2x_3 $-Ebene ($ x_1 = 0 $). Die Koordinatenachsen sind die Schnittgeraden je zweier Koordinatenebenen. Sie spielen als Referenzobjekte bei Spurpunkten und Spurgeraden eine wichtige Rolle.

Zusammenfassung

Das kartesische Koordinatensystem ordnet jedem Punkt im Raum ein Zahlentripel zu und ermöglicht die algebraische Behandlung geometrischer Probleme. Der Ortsvektor verbindet Punkt- und Vektorrechnung. Verbindungsvektoren, Mittelpunkte, Teilungspunkte und Schwerpunkte lassen sich elegant mit Ortsvektoren berechnen. Die Koordinatendarstellung ist die universelle Sprache der analytischen Geometrie und die Grundlage für alle weiteren Konstruktionen.