Schnittkreis zweier Kugeln

Problemstellung

Wenn sich zwei Kugeln schneiden, ist ihre Schnittmenge ein Kreis, der in einer Ebene liegt, die senkrecht auf der Verbindungslinie der Mittelpunkte steht. Die Bestimmung dieses Schnittkreises – seine Lage, sein Mittelpunkt und sein Radius – ist eine klassische Aufgabe der analytischen Geometrie.

Lagebeziehungen zweier Kugeln

Seien $ K_1 $ und $ K_2 $ Kugeln mit Mittelpunkten $ M_1, M_2 $ und Radien $ r_1, r_2 $. Der Abstand der Mittelpunkte sei $ d = |M_1M_2| $. Dann gilt:

$ d > r_1 + r_2 $: Die Kugeln liegen außerhalb voneinander, kein gemeinsamer Punkt.
$ d = r_1 + r_2 $: Die Kugeln berühren sich äußerlich in einem Punkt.
$ |r_1 – r_2| < d < r_1 + r_2 $: Die Kugeln schneiden sich in einem Kreis.
$ d = |r_1 – r_2| $: Die Kugeln berühren sich innerlich in einem Punkt.
$ d < |r_1 - r_2| $: Eine Kugel liegt vollständig in der anderen.

Schnittebene bestimmen

Die Schnittebene enthält alle gemeinsamen Punkte beider Kugeln. Man erhält ihre Gleichung, indem man die allgemeinen Kugelgleichungen voneinander subtrahiert. Seien die Kugelgleichungen:

$$K_1: x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + a_1x_1 + b_1x_2 + c_1x_3 + d_1 = 0$$
$$K_2: x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + a_2x_1 + b_2x_2 + c_2x_3 + d_2 = 0$$

Subtraktion eliminiert die quadratischen Terme und liefert eine lineare Gleichung – die Gleichung der Schnittebene:

$$(a_1-a_2)x_1 + (b_1-b_2)x_2 + (c_1-c_2)x_3 + (d_1-d_2) = 0$$

Der Normalenvektor dieser Ebene zeigt in Richtung $ \overrightarrow{M_1M_2} $ – die Schnittebene steht also tatsächlich senkrecht auf der Verbindungslinie der Mittelpunkte.

Beispiel

$ K_1: (x_1-1)^2 + x_2^2 + x_3^2 = 16 $ und $ K_2: (x_1-5)^2 + x_2^2 + x_3^2 = 16 $.

Ausmultipliziert: $ K_1: x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 – 2x_1 + 1 = 16 $ und $ K_2: x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 – 10x_1 + 25 = 16 $.

Subtraktion: $ 8x_1 – 24 = 0 \Rightarrow x_1 = 3 $. Die Schnittebene ist $ x_1 = 3 $.

Mittelpunkte: $ M_1(1,0,0) $, $ M_2(5,0,0) $. Abstand: $ d = 4 $. Da $ |r_1-r_2| = 0 < 4 < 8 = r_1+r_2 $, schneiden sich die Kugeln.

Mittelpunkt des Schnittkreises: Lotfußpunkt von $ M_1 $ auf die Ebene $ x_1 = 3 $: $ F = (3, 0, 0) $. Abstand $ M_1F = 2 $. Schnittkreisradius: $ \rho = \sqrt{r_1^2 – d_1^2} = \sqrt{16 – 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $.

Allgemeine Formel für den Schnittkreisradius

Mit dem Abstand $ d $ der Mittelpunkte und den Radien $ r_1, r_2 $ lässt sich der Abstand $ a $ des Schnittkreismittelpunkts von $ M_1 $ berechnen:

$$a = \frac{d^2 + r_1^2 – r_2^2}{2d}$$

Der Schnittkreisradius ergibt sich dann als:

$$\rho = \sqrt{r_1^2 – a^2}$$

Der Mittelpunkt des Schnittkreises liegt auf der Strecke $ \overline{M_1M_2} $ im Abstand $ a $ von $ M_1 $: $ F = M_1 + \frac{a}{d} \cdot \overrightarrow{M_1M_2} $.

Sonderfälle

Haben beide Kugeln denselben Radius ($ r_1 = r_2 $), so liegt die Schnittebene genau in der Mitte zwischen den Mittelpunkten ($ a = \frac{d}{2} $). Dies war im obigen Beispiel der Fall. Bei konzentrischen Kugeln (gleicher Mittelpunkt, $ d = 0 $) gibt es entweder keinen Schnitt oder die Kugeln sind identisch.

Zusammenfassung

Zwei sich schneidende Kugeln haben einen Kreis als Schnittmenge. Die Schnittebene erhält man durch Subtraktion der Kugelgleichungen, der Schnittkreismittelpunkt ist der Lotfußpunkt eines Kugelmittelpunkts auf diese Ebene, und der Schnittkreisradius folgt aus dem Satz des Pythagoras. Die Lagebeziehung wird durch den Vergleich des Mittelpunktsabstands mit der Summe und Differenz der Radien bestimmt.