Lage von Ebene und Kugel

Drei mögliche Lagebeziehungen

Eine Ebene kann bezüglich einer Kugel drei verschiedene Lagen haben: Sie kann die Kugel in einem Kreis schneiden, sie kann die Kugel in genau einem Punkt berühren (Tangentialebene), oder sie kann keinen Punkt mit der Kugel gemeinsam haben. Entscheidend ist wieder der Abstand des Kugelmittelpunkts von der Ebene.

Abstandskriterium

Sei $ K $ eine Kugel mit Mittelpunkt $ M $ und Radius $ r $, und $ E $ eine Ebene. Bezeichnet $ d $ den Abstand von $ M $ zu $ E $, so gilt:

$ d < r $: Die Ebene schneidet die Kugel in einem Kreis.
$ d = r $: Die Ebene berührt die Kugel (Tangentialebene).
$ d > r $: Die Ebene und die Kugel haben keinen gemeinsamen Punkt.

Der Abstand berechnet sich mit der Hesseschen Normalform: $ d = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{m} – c|}{|\vec{n}|} $, wobei $ E: \vec{n} \cdot \vec{x} = c $.

Schnittkreis

Schneidet die Ebene die Kugel ($ d < r $), entsteht ein Schnittkreis. Sein Mittelpunkt ist der Lotfußpunkt $ F $ vom Kugelmittelpunkt auf die Ebene, und sein Radius $ \rho $ berechnet sich mit dem Satz des Pythagoras:

$$\rho = \sqrt{r^2 – d^2}$$

Verläuft die Ebene durch den Kugelmittelpunkt ($ d = 0 $), ist der Schnittkreis ein Großkreis mit $ \rho = r $ – dem größtmöglichen Schnittkreis.

Beispiel: Kugel $ K: (x_1-1)^2 + x_2^2 + (x_3-2)^2 = 25 $, Ebene $ E: x_3 = 5 $.

Abstand: $ d = |2 – 5| = 3 < 5 = r $. Also Schnittkreis. Mittelpunkt des Schnittkreises: $ F = (1, 0, 5) $ (Lotfußpunkt). Radius: $ \rho = \sqrt{25 - 9} = 4 $.

Tangentialebene

Eine Tangentialebene berührt die Kugel in genau einem Punkt $ B $. Der Radiusvektor $ \overrightarrow{MB} $ steht senkrecht auf der Ebene, ist also parallel zum Normalenvektor. Die Gleichung der Tangentialebene an die Kugel $ (x_1-m_1)^2 + (x_2-m_2)^2 + (x_3-m_3)^2 = r^2 $ im Punkt $ B = (b_1, b_2, b_3) $ lautet:

$$(b_1 – m_1)(x_1 – m_1) + (b_2 – m_2)(x_2 – m_2) + (b_3 – m_3)(x_3 – m_3) = r^2$$

Beispiel: Kugel $ K: x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 9 $, Berührpunkt $ B = (1, 2, 2) $. Prüfe: $ 1 + 4 + 4 = 9 $ ✓. Tangentialebene: $ 1 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 + 2 \cdot x_3 = 9 $, also $ x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 9 $.

Bestimmung von Tangentialebenen mit vorgegebener Richtung

Gesucht sind manchmal Tangentialebenen an eine Kugel, die einen bestimmten Normalenvektor haben. In diesem Fall ist der Berührpunkt der Punkt auf der Kugel in Richtung (oder Gegenrichtung) des Normalenvektors vom Mittelpunkt aus: $ B = M \pm r \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} $. Es gibt also zwei Tangentialebenen mit demselben Normalenvektor – eine auf jeder Seite der Kugel.

Anwendungen

Die Schnittmenge von Kugel und Ebene spielt in vielen Bereichen eine Rolle: In der Geographie beschreiben Breitenkreise der Erde Schnittkreise einer Kugel mit horizontalen Ebenen. In der Medizin liefern CT-Schnittbilder kreisförmige Querschnitte von näherungsweise kugelförmigen Organen. In der Computergrafik werden Kugel-Ebene-Schnitte für Beleuchtung, Schatten und Kollisionserkennung benötigt.

Zusammenfassung

Die Lage von Ebene und Kugel wird durch den Abstand des Kugelmittelpunkts von der Ebene entschieden. Bei Schnitt entsteht ein Kreis, dessen Radius sich über den Satz des Pythagoras berechnet. Bei Berührung liegt eine Tangentialebene vor, deren Normalenvektor in Richtung des Radiusvektors zum Berührpunkt zeigt. Die Methoden verbinden Abstandsberechnung, Kugelgeometrie und den pythagoräischen Zusammenhang auf elegante Weise.