Lage von Gerade und Kugel

Drei mögliche Lagebeziehungen

Eine Gerade kann bezüglich einer Kugel drei verschiedene Lagen einnehmen: Sie kann die Kugel in zwei Punkten schneiden (Sekante), sie kann die Kugel in genau einem Punkt berühren (Tangente), oder sie kann an der Kugel vorbeigehen (Passante), ohne sie zu berühren. Die Lagebeziehung hängt vom Abstand der Geraden zum Kugelmittelpunkt ab.

Methode: Abstandsvergleich

Sei $ K $ eine Kugel mit Mittelpunkt $ M $ und Radius $ r $, und $ g $ eine Gerade. Berechnet man den Abstand $ d $ des Mittelpunkts von der Geraden, so gilt:

$ d < r $: Die Gerade ist eine Sekante – sie schneidet die Kugel in zwei Punkten.
$ d = r $: Die Gerade ist eine Tangente – sie berührt die Kugel in genau einem Punkt.
$ d > r $: Die Gerade ist eine Passante – sie hat keinen Punkt mit der Kugel gemeinsam.

Methode: Einsetzen und Diskriminante

Alternativ setzt man die Parameterdarstellung der Geraden $ g: \vec{x} = \vec{a} + t\vec{u} $ in die Kugelgleichung $ |\vec{x} – \vec{m}|^2 = r^2 $ ein:

$$|\vec{a} + t\vec{u} – \vec{m}|^2 = r^2$$

Mit $ \vec{w} = \vec{a} – \vec{m} $ ergibt sich eine quadratische Gleichung in $ t $:

$$|\vec{u}|^2 \cdot t^2 + 2(\vec{w} \cdot \vec{u}) \cdot t + |\vec{w}|^2 – r^2 = 0$$

Die Diskriminante $ D = (\vec{w} \cdot \vec{u})^2 – |\vec{u}|^2(|\vec{w}|^2 – r^2) $ entscheidet über die Anzahl der Schnittpunkte: $ D > 0 $ ergibt zwei Schnittpunkte (Sekante), $ D = 0 $ einen Berührpunkt (Tangente), $ D < 0 $ keinen Schnittpunkt (Passante).

Beispiel: Sekante

Kugel $ K: (x_1-1)^2 + (x_2-2)^2 + (x_3-3)^2 = 25 $, Gerade $ g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} $.

$ \vec{w} = \begin{pmatrix}0\\0\\-5\end{pmatrix} $, $ |\vec{u}|^2 = 1 $, $ \vec{w} \cdot \vec{u} = -5 $, $ |\vec{w}|^2 = 25 $.

Gleichung: $ t^2 – 10t + 25 – 25 = 0 \Rightarrow t^2 – 10t = 0 \Rightarrow t(t-10) = 0 $. Lösungen: $ t = 0 $ und $ t = 10 $. Schnittpunkte: $ S_1 = (1, 2, -2) $ und $ S_2 = (1, 2, 8) $.

Beispiel: Tangente

Kugel $ K: x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 9 $ (Mittelpunkt Ursprung, $ r = 3 $), Gerade $ g: \vec{x} = \begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} $.

Der Abstand des Ursprungs von der Geraden: Die Gerade verläuft bei $ x_1 = 3 $, der Abstand ist also 3, gleich dem Radius. Die Gerade ist eine Tangente und berührt die Kugel im Punkt $ (3, 0, 0) $.

Sehnenlänge

Schneidet die Gerade die Kugel in zwei Punkten $ S_1 $ und $ S_2 $, so beträgt die Sehnenlänge $ |S_1S_2| = |t_1 – t_2| \cdot |\vec{u}| $. Mit dem Abstand $ d $ des Mittelpunkts von der Geraden lässt sich die halbe Sehnenlänge auch über den Satz des Pythagoras berechnen: $ \left(\frac{|S_1S_2|}{2}\right)^2 = r^2 – d^2 $.

Tangentialebene im Berührpunkt

Im Berührpunkt $ B $ einer Tangente steht der Radiusvektor $ \overrightarrow{MB} $ senkrecht auf der Tangente. Allgemeiner: Die Tangentialebene an die Kugel im Punkt $ B $ hat den Normalenvektor $ \overrightarrow{MB} $ und die Gleichung $ \overrightarrow{MB} \cdot (\vec{x} – \vec{b}) = 0 $.

Zusammenfassung

Die Lage von Gerade und Kugel wird durch den Abstand des Kugelmittelpunkts von der Geraden oder durch die Diskriminante der quadratischen Gleichung bestimmt, die beim Einsetzen der Geradengleichung in die Kugelgleichung entsteht. Sekante, Tangente und Passante entsprechen zwei, einem oder keinem Schnittpunkt. Die Methode ist analog zur Untersuchung von Gerade und Kreis in der Ebene und findet Anwendung in der Optik, Computergrafik und Kollisionserkennung.