Lot von einem Punkt auf eine Gerade oder Ebene
Was ist ein Lot?
Das Lot von einem Punkt \( P \) auf ein geometrisches Objekt (Gerade oder Ebene) ist die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen \( P \) und dem Objekt. Diese Strecke steht stets senkrecht auf dem Objekt. Der Endpunkt des Lots auf dem Objekt heißt Lotfußpunkt. Das Fällen eines Lots ist eine fundamentale Konstruktion der Geometrie, die bei Abstandsberechnungen, Spiegelungen und Projektionen eine zentrale Rolle spielt.
Lot auf eine Ebene
Gegeben: Punkt \( P \) und Ebene \( E: \vec{n} \cdot \vec{x} = d \) mit Normalenvektor \( \vec{n} \).
Die Lotgerade durch \( P \) senkrecht zur Ebene verläuft in Richtung des Normalenvektors:
$$l: \vec{x} = \vec{p} + t\vec{n}$$
Der Lotfußpunkt \( F \) ist der Schnittpunkt von \( l \) mit \( E \). Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:
$$\vec{n} \cdot (\vec{p} + t\vec{n}) = d \quad \Rightarrow \quad t_0 = \frac{d – \vec{n} \cdot \vec{p}}{|\vec{n}|^2}$$
$$\vec{f} = \vec{p} + t_0 \vec{n}$$
Der Abstand ist \( |t_0| \cdot |\vec{n}| = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{p} – d|}{|\vec{n}|} \) – die bekannte Abstandsformel.
Beispiel: \( P(3, 1, 4) \), \( E: x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 9 \). Lotgerade: \( l: \vec{x} = \begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix} \). Einsetzen: \( (3+t) + 2(1+2t) + 2(4+2t) = 9 \Rightarrow 13 + 9t = 9 \Rightarrow t_0 = -\frac{4}{9} \). Lotfußpunkt: \( F = \begin{pmatrix}3-\frac{4}{9}\\1-\frac{8}{9}\\4-\frac{8}{9}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{23}{9}\\\frac{1}{9}\\\frac{28}{9}\end{pmatrix} \). Abstand: \( \frac{4}{9} \cdot 3 = \frac{4}{3} \).
Lot auf eine Gerade
Gegeben: Punkt \( P \) und Gerade \( g: \vec{x} = \vec{a} + t\vec{u} \).
Der Lotfußpunkt \( F \) auf \( g \) ist der Punkt mit \( \overrightarrow{FP} \perp \vec{u} \):
$$t_0 = \frac{(\vec{p} – \vec{a}) \cdot \vec{u}}{|\vec{u}|^2}, \quad \vec{f} = \vec{a} + t_0\vec{u}$$
Die Lotgerade verläuft von \( P \) durch \( F \): \( l: \vec{x} = \vec{p} + s(\vec{f} – \vec{p}) \). Der Richtungsvektor \( \vec{f} – \vec{p} \) steht senkrecht auf \( \vec{u} \).
Beispiel: \( P(2, 3, 0) \), \( g: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \). \( t_0 = \frac{(2+3+0)}{3} = \frac{5}{3} \). Lotfußpunkt: \( F = \begin{pmatrix}\frac{5}{3}\\\frac{5}{3}\\\frac{5}{3}\end{pmatrix} \). Abstand: \( |PF| = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{16}{9} + \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{42}{9}} = \frac{\sqrt{42}}{3} \).
Anwendungen des Lots
Das Lot ist die Grundlage vieler geometrischer Konstruktionen und Berechnungen:
- Abstandsberechnung: Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden oder Ebene ist die Länge des Lots.
- Spiegelung: Der Lotfußpunkt ist der Mittelpunkt zwischen Punkt und Spiegelbild.
- Orthogonale Projektion: Der Lotfußpunkt ist die Projektion des Punktes auf das Objekt.
- Physik: Kräftezerlegung in Normal- und Tangentialkomponenten nutzt das Lot.
Zusammenfassung
Das Lot von einem Punkt auf eine Ebene verläuft in Richtung des Normalenvektors, das Lot auf eine Gerade steht senkrecht zum Richtungsvektor. In beiden Fällen liefert eine Orthogonalitätsbedingung den Lotfußpunkt. Die Lotlänge ist der Abstand. Lotfußpunkte sind der Schlüssel zu Spiegelungen, Projektionen und Abstandsberechnungen und gehören zu den am häufigsten benötigten Konstruktionen der analytischen Geometrie.