Abstand windschiefer Geraden

Problemstellung

Zwei windschiefe Geraden im Raum schneiden sich nicht und sind nicht parallel – sie verlaufen in verschiedenen Richtungen aneinander vorbei. Ihr Abstand ist die kürzeste Entfernung zwischen einem Punkt auf der einen und einem Punkt auf der anderen Geraden. Diese kürzeste Verbindung steht senkrecht auf beiden Geraden.

Formel über das Spatprodukt

Gegeben seien die windschiefen Geraden $ g: \vec{x} = \vec{a} + t\vec{u} $ und $ h: \vec{x} = \vec{b} + s\vec{v} $. Der Abstand berechnet sich als:

$$d(g, h) = \frac{|(\vec{b} – \vec{a}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$$

Der Zähler ist der Betrag des Spatprodukts der drei Vektoren $ \vec{b} – \vec{a} $, $ \vec{u} $ und $ \vec{v} $. Der Nenner ist der Betrag des Kreuzprodukts der Richtungsvektoren. Geometrisch berechnet man das Volumen des Spats (aufgespannt von den drei Vektoren) und teilt durch die Grundfläche (aufgespannt von den Richtungsvektoren) – das ergibt die Höhe, also den Abstand.

Beispiel: $ g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} $ (x-Achse, verschoben) und $ h: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} $.

$ \vec{b} – \vec{a} = \begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix} $, $ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} $.

$$d = \frac{|\begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}|}{|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}|} = \frac{|3|}{1} = 3$$

Die Geraden haben den Abstand 3 – das ist anschaulich der z-Abstand.

Herleitung und geometrische Anschauung

Der Vektor $ \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} $ steht senkrecht auf beiden Richtungsvektoren und gibt damit die Richtung der kürzesten Verbindung an. Projiziert man den Verbindungsvektor $ \vec{b} – \vec{a} $ auf diese Richtung, erhält man den Abstand. Die Formel ist also eine Projektion auf die gemeinsame Senkrechte.

Fußpunkte der kürzesten Verbindung

Um die tatsächlichen Fußpunkte der kürzesten Verbindung zu bestimmen (den Punkt auf $ g $ und den Punkt auf $ h $, die einander am nächsten sind), löst man das Gleichungssystem aus der Bedingung, dass die Verbindungslinie senkrecht auf beiden Geraden steht:

$$\overrightarrow{F_g F_h} \cdot \vec{u} = 0 \quad \text{und} \quad \overrightarrow{F_g F_h} \cdot \vec{v} = 0$$

Mit $ F_g = \vec{a} + t_0\vec{u} $ und $ F_h = \vec{b} + s_0\vec{v} $ und $ \overrightarrow{F_g F_h} = \vec{b} + s_0\vec{v} – \vec{a} – t_0\vec{u} $ ergibt sich ein lineares Gleichungssystem für $ t_0 $ und $ s_0 $.

Alternative: Hilfsebene

Man kann auch eine Hilfsebene aufstellen, die $ g $ enthält und parallel zu $ h $ ist. Dazu wählt man den Stützpunkt von $ g $ und die Richtungsvektoren $ \vec{u} $ und $ \vec{v} $ als Spannvektoren. Der Abstand der windschiefen Geraden ist dann gleich dem Abstand eines Stützpunkts von $ h $ zu dieser Ebene. Dieser Weg nutzt die bereits bekannte Punkt-Ebene-Abstandsformel.

Zusammenfassung

Der Abstand windschiefer Geraden berechnet sich über die Spatprodukt-Formel als Quotient aus dem Spatprodukt und dem Betrag des Kreuzprodukts der Richtungsvektoren. Die Formel hat eine klare geometrische Deutung als Projektion auf die gemeinsame Senkrechte. Die Fußpunkte der kürzesten Verbindung ergeben sich aus einem Orthogonalitätssystem. Die Berechnung des Abstands windschiefer Geraden ist eine der anspruchsvolleren, aber auch elegantesten Aufgaben der analytischen Geometrie.