Schnittgerade zweier Ebenen
Grundidee
Wenn sich zwei nicht-parallele Ebenen schneiden, bildet ihre Schnittmenge eine Gerade – die Schnittgerade. Um diese zu bestimmen, löst man das Gleichungssystem aus den beiden Ebenengleichungen. Da zwei lineare Gleichungen in drei Unbekannten vorliegen, gibt es (bei nicht-parallelen Ebenen) unendlich viele Lösungen, die eine Gerade bilden.
Methode 1: Gleichungssystem lösen
Gegeben seien zwei Ebenen in Koordinatenform. Man löst das System aus zwei Gleichungen mit drei Unbekannten. Eine Variable wird als freier Parameter gewählt und die anderen beiden in Abhängigkeit davon ausgedrückt.
Beispiel: \( E_1: 2x_1 + x_2 – x_3 = 4 \) und \( E_2: x_1 – x_2 + 2x_3 = 1 \).
Addition beider Gleichungen: \( 3x_1 + x_3 = 5 \Rightarrow x_1 = \frac{5 – x_3}{3} \). Setze \( x_3 = t \) (freier Parameter): \( x_1 = \frac{5-t}{3} \). In \( E_2 \) einsetzen: \( \frac{5-t}{3} – x_2 + 2t = 1 \Rightarrow x_2 = \frac{5-t}{3} + 2t – 1 = \frac{5-t+6t-3}{3} = \frac{2+5t}{3} \).
Die Schnittgerade in Parameterdarstellung:
$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix}\frac{5}{3}\\\frac{2}{3}\\0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\\frac{5}{3}\\1\end{pmatrix}$$
Multipliziert man den Richtungsvektor mit 3 zur Vereinfachung:
$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix}\frac{5}{3}\\\frac{2}{3}\\0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-1\\5\\3\end{pmatrix}$$
Methode 2: Richtungsvektor über Kreuzprodukt
Der Richtungsvektor der Schnittgeraden steht senkrecht auf beiden Normalenvektoren der Ebenen. Er lässt sich daher als Kreuzprodukt berechnen:
$$\vec{u} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$$
Im obigen Beispiel: \( \vec{n}_1 = \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} \), \( \vec{n}_2 = \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix} \).
$$\vec{u} = \begin{pmatrix}1\cdot2-(-1)(-1)\\(-1)\cdot1-2\cdot2\\2\cdot(-1)-1\cdot1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2-1\\-1-4\\-2-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\-5\\-3\end{pmatrix}$$
Dies ist (bis aufs Vorzeichen) das Vielfache des zuvor berechneten Richtungsvektors \( \begin{pmatrix}-1\\5\\3\end{pmatrix} \) ✓.
Für einen Stützpunkt auf der Schnittgeraden setzt man eine Koordinate fest (z. B. \( x_3 = 0 \)) und löst das verbleibende System.
Methode 3: Gauß-Verfahren
Das Gleichungssystem aus den beiden Ebenengleichungen kann systematisch mit dem Gauß-Algorithmus gelöst werden. Man bringt die erweiterte Koeffizientenmatrix auf Stufenform und liest den freien Parameter sowie die abhängigen Variablen ab. Dies ist besonders dann effizient, wenn drei oder mehr Ebenen geschnitten werden sollen.
Probe
Zur Kontrolle setzt man den Stützpunkt und einen weiteren Punkt der Schnittgeraden in beide Ebenengleichungen ein. Beide Gleichungen müssen für alle Punkte der Geraden erfüllt sein.
Sonderfälle und Anwendungen
Schneiden sich drei Ebenen, können verschiedene Konfigurationen auftreten: ein einziger Schnittpunkt (die drei Schnittgeraden laufen zusammen), eine Schnittgerade (alle drei Ebenen enthalten dieselbe Gerade) oder überhaupt kein gemeinsamer Punkt. Diese Fälle entsprechen den Lösbarkeitstypen eines linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Unbekannten.
In der Praxis treten Schnittgeraden z. B. als Kanten von Gebäuden auf (Schnitt zweier Wandebenen), als Verschneidungslinien in der Blechbearbeitung oder als Sichtlinien in der Computergrafik.
Zusammenfassung
Die Schnittgerade zweier Ebenen wird durch Lösen des Gleichungssystems aus den Ebenengleichungen bestimmt. Der Richtungsvektor ergibt sich elegant als Kreuzprodukt der Normalenvektoren. Ein Stützpunkt wird durch Festsetzen einer Koordinate und Lösen des Restsystems gefunden. Die Kombination beider Methoden – Kreuzprodukt für die Richtung, Gleichungssystem für den Stützpunkt – ist die effizienteste Vorgehensweise.