Parameterdarstellung von Ebenen

Grundidee

Eine Ebene im dreidimensionalen Raum wird durch einen Stützpunkt und zwei Richtungsvektoren (auch Spannvektoren genannt) festgelegt. Die beiden Richtungsvektoren dürfen nicht parallel sein, da sie die Ebene aufspannen. Die Parameterdarstellung beschreibt jeden Punkt der Ebene als Linearkombination der beiden Richtungsvektoren:

$$E: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}, \quad r, s \in \mathbb{R}$$

Hierbei ist $ \vec{p} $ der Ortsvektor des Stützpunkts und $ \vec{u}, \vec{v} $ die Richtungsvektoren mit $ \vec{u} \neq r\vec{v} $ (nicht parallel). Durch Variation der Parameter $ r $ und $ s $ über alle reellen Zahlen erhält man jeden Punkt der Ebene. Für $ r = s = 0 $ erhält man den Stützpunkt.

Aufstellen aus drei Punkten

Gegeben seien drei Punkte $ A, B, C $, die nicht auf einer Geraden liegen. Dann wählt man $ A $ als Stützpunkt und die Verbindungsvektoren als Richtungsvektoren:

$$E: \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \overrightarrow{AB} + s \cdot \overrightarrow{AC}$$

Beispiel: $ A(1,0,0) $, $ B(0,2,0) $, $ C(0,0,3) $. Richtungsvektoren: $ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix} $, $ \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix} $.

$$E: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix}$$

Punktprobe

Um zu prüfen, ob ein Punkt $ Q $ in der Ebene liegt, setzt man seine Koordinaten ein und prüft, ob das entstehende Gleichungssystem (drei Gleichungen, zwei Unbekannte $ r, s $) lösbar ist.

Beispiel: Liegt $ Q(0, 2, 3) $ in der obigen Ebene? Gleichungssystem: $ 1 – r – s = 0 $, $ 2r = 2 $, $ 3s = 3 $. Aus den letzten beiden: $ r = 1, s = 1 $. Prüfe erste: $ 1 – 1 – 1 = -1 \neq 0 $ ✗. Also liegt $ Q $ nicht in der Ebene.

Ebene aus Punkt und Gerade

Liegt ein Punkt $ A $ nicht auf einer Geraden $ g: \vec{x} = \vec{q} + t\vec{u} $, so lässt sich die Ebene durch $ A $ und $ g $ aufstellen: $ E: \vec{x} = \vec{a} + r\vec{u} + s\overrightarrow{AQ} $, wobei $ Q $ ein beliebiger Punkt auf $ g $ ist.

Ebene aus zwei parallelen Geraden

Zwei echt parallele Geraden $ g $ und $ h $ bestimmen genau eine Ebene. Man wählt einen Stützpunkt auf $ g $, den gemeinsamen Richtungsvektor und den Verbindungsvektor zwischen Stützpunkten von $ g $ und $ h $ als zweiten Richtungsvektor.

Vor- und Nachteile der Parameterdarstellung

Die Parameterdarstellung ist anschaulich und flexibel: Sie lässt sich leicht aus Punkten aufstellen, ermöglicht Punktproben und die Berechnung spezieller Punkte durch Einsetzen von Parameterwerten. Allerdings ist sie für manche Berechnungen (z. B. Abstände, Schnittwinkel) weniger geeignet als die Normal- oder Koordinatenform. In der Praxis wechselt man daher häufig zwischen den Darstellungsformen.

Zusammenfassung

Die Parameterdarstellung einer Ebene verwendet einen Stützpunkt und zwei linear unabhängige Richtungsvektoren. Sie beschreibt jeden Ebenenpunkt durch zwei Parameter. Das Aufstellen aus drei Punkten ist besonders häufig und nutzt die Verbindungsvektoren als Richtungsvektoren. Die Punktprobe erfolgt über ein Gleichungssystem. Die Parameterdarstellung ist die anschaulichste Form der Ebenenbeschreibung und der natürliche Ausgangspunkt für weitere Darstellungsformen.