Lagebeziehungen von Geraden im Raum
Vier mögliche Lagebeziehungen
Im dreidimensionalen Raum gibt es – anders als in der Ebene – vier verschiedene Möglichkeiten, wie zwei Geraden zueinander liegen können: sie können identisch, echt parallel, schneidend oder windschief sein. Im zweidimensionalen Fall gibt es kein „windschief“, da sich dort nicht-parallele Geraden stets schneiden.
Untersuchungsmethode
Gegeben seien zwei Geraden in Parameterdarstellung:
$$g: \vec{x} = \vec{p} + t\vec{u}, \quad h: \vec{x} = \vec{q} + s\vec{v}$$
Die Untersuchung erfolgt in zwei Schritten:
Schritt 1: Richtungsvektoren vergleichen. Sind \( \vec{u} \) und \( \vec{v} \) kollinear (d. h. \( \vec{v} = r\vec{u} \) für ein \( r \in \mathbb{R} \))?
- Ja: Die Geraden sind parallel. Prüfe weiter, ob sie identisch sind (liegt \( \vec{q} \) auf \( g \)?) oder echt parallel (liegt \( \vec{q} \) nicht auf \( g \)).
- Nein: Die Geraden sind nicht parallel. Prüfe, ob sie sich schneiden oder windschief sind.
Schritt 2 (bei nicht-parallelen Geraden): Setze die Parameterdarstellungen gleich: \( \vec{p} + t\vec{u} = \vec{q} + s\vec{v} \). Dies ergibt ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten (\( t \) und \( s \)).
- Hat das System eine Lösung: Die Geraden schneiden sich. Der Schnittpunkt ergibt sich durch Einsetzen des Parameters.
- Hat das System keine Lösung: Die Geraden sind windschief.
Beispiel 1: Schneidende Geraden
\( g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} \), \( h: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\1\\4\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix} \).
Richtungsvektoren nicht kollinear (\( \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} \neq r\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix} \)). Gleichsetzen: \( 1+t = 2s \), \( 2 = 1+s \), \( 3-t = 4 \). Aus der dritten Gleichung: \( t = -1 \). Aus der zweiten: \( s = 1 \). Prüfe erste: \( 1+(-1) = 0 = 2\cdot1 \) ✓. Schnittpunkt: \( \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\2\\4\end{pmatrix} \).
Beispiel 2: Windschiefe Geraden
\( g: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \) (x-Achse), \( h: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \).
Richtungsvektoren nicht kollinear. Gleichsetzen: \( t = 0 \), \( 0 = 1 \) – Widerspruch! Die Geraden sind windschief. Sie kommen sich nahe, schneiden sich aber nie und sind nicht parallel. Der Abstand zwischen ihnen beträgt 1 (der y-Abstand).
Beispiel 3: Parallele Geraden
\( g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} \), \( h: \vec{x} = \begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}4\\2\\-2\end{pmatrix} \).
Richtungsvektoren: \( \begin{pmatrix}4\\2\\-2\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} \) – kollinear! Liegt \( (3,1,1) \) auf \( g \)? \( 1+2t = 3 \Rightarrow t = 1 \), \( 0+1 = 1 \) ✓, \( 2-1 = 1 \) ✓. Ja → die Geraden sind identisch.
Schnittwinkel
Wenn sich zwei Geraden schneiden, berechnet man den Schnittwinkel über die Richtungsvektoren: \( \cos(\alpha) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|} \). Der Betrag im Zähler garantiert den spitzen Winkel.
Zusammenfassung
Zwei Geraden im Raum können identisch, echt parallel, schneidend oder windschief sein. Die Untersuchung beginnt mit dem Vergleich der Richtungsvektoren (kollinear oder nicht) und setzt sich mit dem Lösen des Gleichungssystems aus der Gleichsetzung der Parameterdarstellungen fort. Windschiefe Geraden sind ein Phänomen des dreidimensionalen Raums und treten in der Ebene nicht auf. Der Schnittwinkel wird über das Skalarprodukt der Richtungsvektoren berechnet.