Winkel zwischen Vektoren und Geraden

Winkel zwischen zwei Vektoren

Der Winkel $ \varphi $ zwischen zwei Vektoren $ \vec{a} $ und $ \vec{b} $ wird über das Skalarprodukt berechnet:

$$\cos(\varphi) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

Da der Kosinus Werte zwischen $ -1 $ und $ 1 $ annimmt, liegt $ \varphi $ stets im Intervall $ [0°, 180°] $ bzw. $ [0, \pi] $. Man erhält den Winkel durch Anwenden des Arkuskosinus: $ \varphi = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right) $.

Beispiel: Für $ \vec{a} = \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix} $ und $ \vec{b} = \begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix} $: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 – 2 + 0 = 0 $. Da das Skalarprodukt null ist, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander: $ \varphi = 90° $.

Beispiel 2: Für $ \vec{a} = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} $ und $ \vec{b} = \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} $: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 + 1 + 0 = 1 $, $ |\vec{a}| = \sqrt{2} $, $ |\vec{b}| = \sqrt{2} $. Also $ \cos(\varphi) = \frac{1}{2} $, $ \varphi = 60° $.

Winkel zwischen zwei Geraden

Zwei Geraden im Raum haben Richtungsvektoren $ \vec{u} $ und $ \vec{v} $. Der Schnittwinkel $ \alpha $ zwischen den Geraden ist der kleinere der beiden Winkel, die von den Richtungsvektoren gebildet werden. Da Geraden keine Orientierung haben, verwendet man den Betrag des Skalarprodukts:

$$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$$

Der Betrag im Zähler stellt sicher, dass $ \alpha \in [0°, 90°] $ liegt – man erhält stets den spitzen Schnittwinkel.

Beispiel: Die Geraden mit Richtungsvektoren $ \vec{u} = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} $ und $ \vec{v} = \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} $: $ \vec{u} \cdot \vec{v} = -1 + 1 + 0 = 0 $. Also $ \alpha = 90° $ – die Geraden stehen senkrecht aufeinander.

Winkel zwischen Gerade und Ebene

Für den Winkel $ \beta $ zwischen einer Geraden mit Richtungsvektor $ \vec{u} $ und einer Ebene mit Normalenvektor $ \vec{n} $ gilt:

$$\sin(\beta) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$$

Beachte: Hier wird der Sinus verwendet, nicht der Kosinus! Der Winkel $ \beta $ ist das Komplement des Winkels zwischen $ \vec{u} $ und $ \vec{n} $. Er liegt stets in $ [0°, 90°] $.

Beispiel: Gerade mit $ \vec{u} = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} $, Ebene mit $ \vec{n} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} $: $ |\vec{u} \cdot \vec{n}| = |1| = 1 $, $ |\vec{u}| = \sqrt{2} $, $ |\vec{n}| = 1 $. Also $ \sin(\beta) = \frac{1}{\sqrt{2}} $, $ \beta = 45° $.

Winkel zwischen zwei Ebenen

Der Winkel zwischen zwei Ebenen wird über ihre Normalenvektoren bestimmt. Der Schnittwinkel $ \gamma $ ist:

$$\cos(\gamma) = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}$$

Auch hier sorgt der Betrag dafür, dass der spitze Winkel berechnet wird. Zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren parallel sind ($ \gamma = 0° $), und senkrecht, wenn die Normalenvektoren orthogonal sind ($ \gamma = 90° $).

Beispiel: Ebene 1 mit $ \vec{n}_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} $, Ebene 2 mit $ \vec{n}_2 = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} $: $ |\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2| = 1 $, $ |\vec{n}_1| = 1 $, $ |\vec{n}_2| = \sqrt{2} $. Also $ \cos(\gamma) = \frac{1}{\sqrt{2}} $, $ \gamma = 45° $.

Zusammenfassung der Winkelformeln

Drei verschiedene Winkelberechnungen und ihre Formeln im Überblick: Zwischen zwei Vektoren oder Geraden verwendet man den (Betrags-)Kosinus des Skalarprodukts geteilt durch das Produkt der Beträge. Zwischen Gerade und Ebene verwendet man den Sinus. Zwischen zwei Ebenen den Kosinus der Normalenvektoren. Der Betrag im Zähler garantiert jeweils den spitzen Winkel.

Zusammenfassung

Winkelberechnungen in der analytischen Geometrie basieren auf dem Skalarprodukt und dem Zusammenhang $ \cos(\varphi) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} $. Bei Geraden und Ebenen muss man beachten, ob der spitze oder stumpfe Winkel gemeint ist und ob Richtungs- oder Normalenvektoren zu verwenden sind. Die drei Hauptfälle – Vektoren/Geraden, Gerade-Ebene und Ebenen – unterscheiden sich in der Verwendung von Kosinus bzw. Sinus und in der Rolle der Normalenvektoren.