Vektoren im ℝ³: Addition, Subtraktion, Skalarmultiplikation

Was ist ein Vektor?

Ein Vektor im dreidimensionalen Raum $ \mathbb{R}^3 $ ist ein geordnetes Tripel reeller Zahlen, das eine Verschiebung beschreibt. Man notiert ihn als Spaltenvektor:

$$\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$$

Die Zahlen $ a_1, a_2, a_3 $ heißen Komponenten des Vektors. Geometrisch stellt ein Vektor einen Pfeil dar, der eine bestimmte Richtung und Länge hat, aber keinen festen Anfangspunkt. Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie dieselben Komponenten haben – unabhängig davon, wo sie im Raum „angeheftet“ sind. Der Vektor $ \vec{a} $ kann als Verschiebung um $ a_1 $ in x-Richtung, $ a_2 $ in y-Richtung und $ a_3 $ in z-Richtung interpretiert werden.

Der Nullvektor $ \vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $ hat die Länge null und keine definierte Richtung. Er entspricht der „Nicht-Verschiebung“.

Addition von Vektoren

Die Addition zweier Vektoren erfolgt komponentenweise:

$$\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \end{pmatrix}$$

Geometrisch entspricht die Addition dem Hintereinanderausführen zweier Verschiebungen. Hängt man den Pfeil von $ \vec{b} $ an die Spitze von $ \vec{a} $, so zeigt der resultierende Pfeil vom Anfang von $ \vec{a} $ zur Spitze von $ \vec{b} $ – das ist der Summenvektor. Diese Konstruktion heißt auch Parallelogrammregel, da sich $ \vec{a} + \vec{b} $ als Diagonale des von $ \vec{a} $ und $ \vec{b} $ aufgespannten Parallelogramms ergibt.

Beispiel: $ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} $

Die Vektoraddition ist kommutativ ($ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} $) und assoziativ ($ (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) $).

Subtraktion von Vektoren

Die Subtraktion wird über den Gegenvektor definiert. Der Gegenvektor von $ \vec{a} $ ist $ -\vec{a} = \begin{pmatrix} -a_1 \\ -a_2 \\ -a_3 \end{pmatrix} $ – er hat dieselbe Länge, aber die entgegengesetzte Richtung. Dann gilt:

$$\vec{a} – \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \begin{pmatrix} a_1 – b_1 \\ a_2 – b_2 \\ a_3 – b_3 \end{pmatrix}$$

Geometrisch zeigt $ \vec{b} – \vec{a} $ von der Spitze von $ \vec{a} $ zur Spitze von $ \vec{b} $, wenn beide Vektoren denselben Anfangspunkt haben. Dies ist der Verbindungsvektor von $ A $ nach $ B $: Sind $ A $ und $ B $ Punkte mit Ortsvektoren $ \vec{a} $ und $ \vec{b} $, so ist $ \overrightarrow{AB} = \vec{b} – \vec{a} $.

Beispiel: Die Punkte $ A(1, 2, 3) $ und $ B(4, 0, 1) $ haben den Verbindungsvektor $ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 0-2 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} $.

Skalarmultiplikation

Die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl $ r $ (einem Skalar) erfolgt komponentenweise:

$$r \cdot \vec{a} = r \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \cdot a_1 \\ r \cdot a_2 \\ r \cdot a_3 \end{pmatrix}$$

Geometrisch streckt oder staucht die Skalarmultiplikation den Vektor um den Faktor $ |r| $. Für $ r > 0 $ bleibt die Richtung erhalten, für $ r < 0 $ kehrt sie sich um. Für $ r = 0 $ entsteht der Nullvektor.

Beispiel: $ 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix} $ und $ -\frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} $.

Rechengesetze

Die Vektoraddition und Skalarmultiplikation erfüllen die üblichen Rechengesetze: Kommutativgesetz und Assoziativgesetz der Addition, Distributivgesetze $ r(\vec{a} + \vec{b}) = r\vec{a} + r\vec{b} $ und $ (r + s)\vec{a} = r\vec{a} + s\vec{a} $ sowie $ 1 \cdot \vec{a} = \vec{a} $. Diese Gesetze machen den $ \mathbb{R}^3 $ zu einem Vektorraum.

Anwendung: Mittelpunkt einer Strecke

Der Mittelpunkt $ M $ der Strecke $ \overline{AB} $ hat den Ortsvektor:

$$\vec{m} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \begin{pmatrix} \frac{a_1+b_1}{2} \\ \frac{a_2+b_2}{2} \\ \frac{a_3+b_3}{2} \end{pmatrix}$$

Beispiel: Für $ A(2, 4, 6) $ und $ B(8, 0, 2) $ ist $ M = (5, 2, 4) $.

Zusammenfassung

Vektoren im $ \mathbb{R}^3 $ beschreiben Verschiebungen im Raum durch drei Komponenten. Addition und Subtraktion erfolgen komponentenweise und modellieren das Hintereinanderausführen bzw. den Vergleich von Verschiebungen. Die Skalarmultiplikation streckt oder staucht Vektoren. Diese drei Grundoperationen bilden das Fundament der analytischen Geometrie und ermöglichen die algebraische Beschreibung geometrischer Sachverhalte im dreidimensionalen Raum.