Umkehrfunktionen

Was ist eine Umkehrfunktion?

Die Umkehrfunktion (oder inverse Funktion) $ f^{-1} $ „macht die Wirkung von $ f $ rückgängig“. Ist $ y = f(x) $, so liefert die Umkehrfunktion $ x = f^{-1}(y) $. Formal gilt:

$$f^{-1}(f(x)) = x \quad \text{und} \quad f(f^{-1}(y)) = y$$

Die Umkehrfunktion löst also die Gleichung $ y = f(x) $ nach $ x $ auf. Anschaulich vertauscht sie die Rollen von Eingabe und Ausgabe: Wo $ f $ den Wert 3 auf 9 abbildet, bildet $ f^{-1} $ den Wert 9 auf 3 ab.

Wichtig: Die Notation $ f^{-1} $ bedeutet hier die Umkehrfunktion, nicht den Kehrwert $ \frac{1}{f} $. Diese Verwechslungsgefahr besteht besonders bei trigonometrischen Funktionen.

Existenzbedingung: Injektivität

Eine Umkehrfunktion existiert nur, wenn $ f $ injektiv (eineindeutig) ist: Jeder Funktionswert darf höchstens einmal angenommen werden. Grafisch bedeutet dies: Jede waagerechte Linie schneidet den Graphen höchstens einmal (horizontaler Linientest).

Streng monotone Funktionen sind stets injektiv und besitzen daher immer eine Umkehrfunktion. Nicht-injektive Funktionen wie $ f(x) = x^2 $ (da $ f(-2) = f(2) = 4 $) können nur auf einem eingeschränkten Definitionsbereich invertiert werden – z. B. $ f: [0, \infty) \to [0, \infty) $ mit $ f^{-1}(y) = \sqrt{y} $.

Graph der Umkehrfunktion

Der Graph von $ f^{-1} $ entsteht durch Spiegelung des Graphen von $ f $ an der Winkelhalbierenden $ y = x $. Dabei werden die Koordinaten jedes Punktes vertauscht: Aus $ (a, b) $ auf dem Graphen von $ f $ wird $ (b, a) $ auf dem Graphen von $ f^{-1} $.

Dies erklärt auch den Zusammenhang der Definitions- und Wertebereiche: $ D_{f^{-1}} = W_f $ und $ W_{f^{-1}} = D_f $.

Berechnung der Umkehrfunktion

Die Berechnung erfolgt in drei Schritten:

Schreibe $ y = f(x) $
Löse nach $ x $ auf: $ x = \ldots $
Vertausche $ x $ und $ y $: Die rechte Seite ist $ f^{-1}(x) $

Beispiel 1: $ f(x) = 2x + 3 $. Schritt 1: $ y = 2x + 3 $. Schritt 2: $ x = \frac{y-3}{2} $. Schritt 3: $ f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2} $.

Beispiel 2: $ f(x) = e^x $. Schritt 1: $ y = e^x $. Schritt 2: $ x = \ln(y) $. Schritt 3: $ f^{-1}(x) = \ln(x) $. Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist der natürliche Logarithmus.

Beispiel 3: $ f(x) = x^3 + 1 $. Schritt 1: $ y = x^3 + 1 $. Schritt 2: $ x = \sqrt[3]{y – 1} $. Schritt 3: $ f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x – 1} $.

Ableitung der Umkehrfunktion

Ist $ f $ differenzierbar und $ f'(x) \neq 0 $, so ist auch $ f^{-1} $ differenzierbar, und es gilt die Umkehrregel:

$$\left(f^{-1}\right)'(y) = \frac{1}{f'(x)} \quad \text{wobei } y = f(x)$$

Oder äquivalent: $ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} $.

Beispiel: Für $ f(x) = e^x $ und $ f^{-1}(y) = \ln(y) $: Es ist $ f'(x) = e^x $, also $ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{e^x} = \frac{1}{y} $. Tatsächlich ist $ (\ln y)‘ = \frac{1}{y} $ – die Umkehrregel bestätigt die bekannte Ableitung.

Geometrisch bedeutet die Umkehrregel: Die Steigung der Umkehrfunktion ist der Kehrwert der Steigung der Originalfunktion am entsprechenden Punkt. Dies ergibt sich aus der Spiegelung an $ y = x $.

Wichtige Umkehrfunktionspaare

$ e^x $ und $ \ln(x) $
$ x^n $ (für $ x \geq 0 $) und $ \sqrt[n]{x} $
$ a^x $ und $ \log_a(x) $
$ \sin(x) $ (eingeschränkt auf $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $) und $ \arcsin(x) $
$ \cos(x) $ (eingeschränkt auf $ [0, \pi] $) und $ \arccos(x) $
$ \tan(x) $ (eingeschränkt auf $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $) und $ \arctan(x) $

Zusammenfassung

Die Umkehrfunktion löst die Gleichung $ y = f(x) $ nach $ x $ auf und macht die Wirkung von $ f $ rückgängig. Sie existiert genau dann, wenn $ f $ injektiv ist. Der Graph entsteht durch Spiegelung an $ y = x $. Die Ableitung der Umkehrfunktion ist der Kehrwert der Ableitung der Originalfunktion. Umkehrfunktionspaare wie $ e^x / \ln(x) $ und die Arkusfunktionen gehören zum Standardrepertoire der Analysis.