Trigonometrische Funktionen: sin, cos, tan

Vom Dreieck zum Einheitskreis

Die trigonometrischen Funktionen haben ihren Ursprung in der Geometrie des rechtwinkligen Dreiecks: \( \sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \), \( \cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \) und \( \tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \). Diese Definitionen gelten zunächst für Winkel zwischen \( 0° \) und \( 90° \).

In der Analysis wird der Definitionsbereich auf ganz \( \mathbb{R} \) erweitert, indem man den Einheitskreis verwendet: Ein Punkt \( P \) auf dem Einheitskreis (Radius 1, Mittelpunkt im Ursprung) hat bei einem Winkel \( x \) (im Bogenmaß) die Koordinaten \( (\cos(x), \sin(x)) \). Der Tangens ist der Quotient \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \). Das Bogenmaß ist in der Analysis die natürliche Winkeleinheit: \( 360° = 2\pi \), \( 180° = \pi \), \( 90° = \frac{\pi}{2} \).

Eigenschaften der Sinusfunktion

Die Funktion \( f(x) = \sin(x) \) hat folgende zentrale Eigenschaften:

Definitionsbereich: \( \mathbb{R} \)
Wertebereich: \( [-1, 1] \)
Periode: \( 2\pi \) (der Funktionsverlauf wiederholt sich alle \( 2\pi \))
Symmetrie: Punktsymmetrie zum Ursprung (\( \sin(-x) = -\sin(x) \), ungerade Funktion)
Nullstellen: bei \( x = k\pi \), \( k \in \mathbb{Z} \)
Maximum: \( \sin(x) = 1 \) bei \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \)
Minimum: \( \sin(x) = -1 \) bei \( x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \)
Ableitung: \( (\sin x)‘ = \cos x \)

Eigenschaften der Kosinusfunktion

Die Funktion \( f(x) = \cos(x) \) unterscheidet sich vom Sinus hauptsächlich durch eine Phasenverschiebung: \( \cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) \). Ihre Eigenschaften:

Wertebereich: \( [-1, 1] \), Periode: \( 2\pi \)
Symmetrie: Achsensymmetrie zur y-Achse (\( \cos(-x) = \cos(x) \), gerade Funktion)
Nullstellen: bei \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)
Ableitung: \( (\cos x)‘ = -\sin x \)

Eigenschaften der Tangensfunktion

Die Funktion \( f(x) = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \) hat eine kürzere Periode und Polstellen:

Definitionsbereich: \( \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\} \)
Wertebereich: \( \mathbb{R} \) (alle reellen Werte werden angenommen)
Periode: \( \pi \) (halbe Periode von sin und cos)
Symmetrie: Punktsymmetrie zum Ursprung (ungerade Funktion)
Polstellen: bei \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) (senkrechte Asymptoten)
Nullstellen: bei \( x = k\pi \)
Ableitung: \( (\tan x)‘ = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x) \)

Wichtige Identitäten

Die trigonometrischen Funktionen sind durch zahlreiche Identitäten verbunden, die beim Umformen und Vereinfachen unverzichtbar sind:

Trigonometrischer Pythagoras: \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \)
Additionstheoreme: \( \sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) \) und \( \cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) – \sin(a)\sin(b) \)
Doppelwinkelformeln: \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \) und \( \cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \)

Anwendungen

Trigonometrische Funktionen modellieren periodische Vorgänge: Schwingungen und Wellen in der Physik, Wechselstrom in der Elektrotechnik, Gezeiten in der Ozeanographie und jahreszeitliche Schwankungen in der Biologie. In der Geometrie beschreiben sie Drehungen und die Projektion von Kreisbewegungen. Ihre Ableitungseigenschaft – die Ableitung einer trigonometrischen Funktion ist wieder trigonometrisch – macht sie zu den natürlichen Bausteinen der Schwingungslehre.

Zusammenfassung

Die drei trigonometrischen Grundfunktionen sin, cos und tan beschreiben Verhältnisse am Einheitskreis und sind die mathematische Grundlage für die Modellierung periodischer Phänomene. Sinus und Kosinus sind auf ganz \( \mathbb{R} \) definiert, periodisch mit Periode \( 2\pi \), beschränkt auf \( [-1, 1] \) und unterscheiden sich durch eine Phasenverschiebung. Der Tangens hat die Periode \( \pi \), ist unbeschränkt und besitzt Polstellen. Ihre Ableitungen bilden einen geschlossenen Zyklus, und die trigonometrischen Identitäten ermöglichen vielfältige Umformungen.