Sachaufgaben zur Integralrechnung: Bilanz und Bestand
Typische Aufgabenstruktur
Sachaufgaben zur Integralrechnung beschreiben reale Situationen, in denen eine Größe sich zeitlich verändert. Man kennt die Zufluss- oder Änderungsrate und möchte daraus Rückschlüsse auf den Bestand (Gesamtgröße) ziehen. Die mathematische Grundlage ist stets dieselbe: Das Integral der Rate über ein Zeitintervall liefert die Gesamtveränderung, und zusammen mit einem Anfangswert kann man den Bestand zu jedem Zeitpunkt berechnen.
Solche Aufgaben erfordern drei Kompetenzen: das Verständnis der Sachsituation, die korrekte mathematische Modellierung und die technisch saubere Berechnung des Integrals. Im Folgenden werden verschiedene typische Aufgabentypen vorgestellt.
Aufgabentyp 1: Bestandsentwicklung
Aufgabe: Die Produktionsrate einer Fabrik beträgt \( p(t) = 120 – 0{,}5t^2 \) Einheiten pro Stunde (für \( 0 \leq t \leq 10 \)). Zu Beginn befinden sich 200 Einheiten im Lager. Gleichzeitig werden konstant 80 Einheiten pro Stunde ausgeliefert.
Nettorate: \( r(t) = p(t) – 80 = 40 – 0{,}5t^2 \).
Bestand nach \( t \) Stunden: \( B(t) = 200 + \int_0^t (40 – 0{,}5\tau^2) \, d\tau = 200 + 40t – \frac{t^3}{6} \).
Wann ist der Bestand maximal? \( B'(t) = r(t) = 40 – 0{,}5t^2 = 0 \Rightarrow t^2 = 80 \Rightarrow t = \sqrt{80} \approx 8{,}94 \) Stunden. Maximaler Bestand: \( B(8{,}94) \approx 200 + 358 – 119 \approx 439 \) Einheiten.
Aufgabentyp 2: Gesamtverbrauch
Aufgabe: Der Stromverbrauch eines Haushalts wird durch \( v(t) = 2 + \sin\left(\frac{\pi t}{12}\right) \) kW modelliert (\( t \) in Stunden, Tagesverlauf). Wie hoch ist der Gesamtverbrauch an einem Tag?
$$E = \int_0^{24} \left(2 + \sin\left(\frac{\pi t}{12}\right)\right) dt = \left[2t – \frac{12}{\pi}\cos\left(\frac{\pi t}{12}\right)\right]_0^{24}$$
$$= 48 – \frac{12}{\pi}\cos(2\pi) + \frac{12}{\pi}\cos(0) = 48 – \frac{12}{\pi} + \frac{12}{\pi} = 48 \text{ kWh}$$
Der Sinusanteil integriert sich über eine volle Periode zu null, sodass nur der konstante Anteil zum Gesamtverbrauch beiträgt. Dies zeigt, wie periodische Schwankungen sich in der Gesamtbilanz aufheben können.
Aufgabentyp 3: Bilanz mit Vorzeichenwechsel
Aufgabe: Ein Konto wird mit der Rate \( r(t) = 300 – 50t \) Euro pro Monat ein- bzw. ausgezahlt. Anfangsbestand: 2000 Euro. Bestimme den Kontostand nach 12 Monaten und den niedrigsten Stand.
Die Rate wechselt das Vorzeichen bei \( t = 6 \): Für \( t < 6 \) wird eingezahlt, für \( t > 6 \) abgehoben.
Kontostand nach 12 Monaten: \( K(12) = 2000 + \int_0^{12} (300 – 50t) \, dt = 2000 + [300t – 25t^2]_0^{12} = 2000 + 3600 – 3600 = 2000 \) Euro. Der Kontostand ist nach 12 Monaten wieder wie am Anfang!
Höchststand bei \( t = 6 \): \( K(6) = 2000 + \int_0^6 (300 – 50t) \, dt = 2000 + 900 = 2900 \) Euro. Da der Kontostand danach wieder auf 2000 sinkt, liegt der niedrigste Stand am Anfang und am Ende bei 2000 Euro.
Aufgabentyp 4: Interpretation gegebener Integrale
Häufig wird in Aufgaben ein Integral gegeben und dessen Bedeutung im Sachkontext erfragt. Beispiel: „Die Funktion \( v(t) \) beschreibt die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs in km/h. Was bedeutet \( \int_0^3 v(t) \, dt = 180 \)?“
Antwort: Das Fahrzeug hat in den ersten 3 Stunden insgesamt 180 km zurückgelegt. Das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit ist die Strecke – eine direkte Anwendung des Zusammenhangs zwischen Rate und Gesamtgröße.
Aufgabentyp 5: Vergleich verschiedener Modelle
Manchmal werden zwei verschiedene Raten verglichen, und es wird gefragt, wann oder ob ein bestimmter Bestand erreicht wird. Fließen in ein Becken \( z(t) \) Liter pro Minute zu und \( a(t) \) ab, so ist der Bestand \( B(t) = B_0 + \int_0^t [z(\tau) – a(\tau)] \, d\tau \). Der Bestand steigt, solange \( z > a \), und fällt, wenn \( a > z \).
Tipps für Sachaufgaben
Bei Sachaufgaben zur Integralrechnung empfiehlt es sich, zunächst die Situation grafisch darzustellen (Graph der Rate) und die Flächen unter der Kurve mit dem Bestand in Verbindung zu bringen. Positive Flächen bedeuten Zunahme, negative Abnahme. Der Zeitpunkt des Vorzeichenwechsels der Rate entspricht einem Extremum des Bestands. Eine sorgfältige Beschriftung der Achsen und Einheiten verhindert Interpretationsfehler.
Zusammenfassung
Sachaufgaben zur Integralrechnung verbinden Modellierung mit Berechnung. Die zentrale Idee ist stets: Das Integral einer Änderungsrate über ein Zeitintervall ergibt die Gesamtveränderung des Bestands. Typische Aufgabentypen umfassen Bestandsentwicklung, Gesamtverbrauch, Bilanzen mit Vorzeichenwechsel und die Interpretation gegebener Integrale. Die Fähigkeit, zwischen der Rate und dem zugehörigen Bestand zu wechseln, ist eine der praxisrelevantesten Kompetenzen der Analysis.