Betragsfunktionen und Fallunterscheidungen

Der Betrag einer reellen Zahl

Der Betrag (oder Absolutbetrag) einer reellen Zahl $ x $ gibt deren Abstand zum Nullpunkt auf der Zahlengeraden an. Er wird mit $ |x| $ notiert und ist durch eine Fallunterscheidung definiert:

$$|x| = \begin{cases} x & \text{falls } x \geq 0 \\ -x & \text{falls } x < 0 \end{cases}$$

Der Betrag ist also stets nicht-negativ: $ |x| \geq 0 $ für alle $ x \in \mathbb{R} $. Beispiele: $ |5| = 5 $, $ |-3| = 3 $, $ |0| = 0 $. Die geometrische Interpretation als Abstand ist besonders hilfreich: $ |a – b| $ ist der Abstand zwischen den Zahlen $ a $ und $ b $ auf der Zahlengeraden.

Die Betragsfunktion

Die Funktion $ f(x) = |x| $ hat einen V-förmigen Graphen mit der Spitze im Ursprung. Sie ist stetig auf ganz $ \mathbb{R} $, aber an der Stelle $ x = 0 $ nicht differenzierbar, da der linksseitige Grenzwert der Ableitung ($ -1 $) und der rechtsseitige ($ +1 $) nicht übereinstimmen. Die Betragsfunktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse: $ |{-x}| = |x| $.

Für $ x \neq 0 $ ist die Ableitung von $ |x| $ die Signumfunktion:

$$\frac{d}{dx}|x| = \text{sgn}(x) = \begin{cases} 1 & \text{falls } x > 0 \\ -1 & \text{falls } x < 0 \end{cases}$$

Zusammengesetzte Betragsfunktionen

Betragsfunktionen treten häufig in der Form $ f(x) = |g(x)| $ auf. Der Graph entsteht, indem man den Graphen von $ g $ zeichnet und alle Teile unterhalb der x-Achse an dieser nach oben spiegelt. Die Nullstellen von $ g $ werden zu „Knickstellen“ des Graphen von $ |g| $.

Beispiel 1: $ f(x) = |x^2 – 4| $. Die Funktion $ g(x) = x^2 – 4 $ hat Nullstellen bei $ x = \pm 2 $. Auf $ (-2, 2) $ ist $ g(x) < 0 $, dort wird der Graph gespiegelt. Die Fallunterscheidung lautet:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 – 4 & \text{falls } x \leq -2 \text{ oder } x \geq 2 \\ -(x^2 – 4) = 4 – x^2 & \text{falls } -2 < x < 2 \end{cases}$$

Beispiel 2: $ f(x) = |2x – 3| $. Nullstelle von $ 2x – 3 $ bei $ x = 1{,}5 $. Fallunterscheidung:

$$f(x) = \begin{cases} 2x – 3 & \text{falls } x \geq 1{,}5 \\ 3 – 2x & \text{falls } x < 1{,}5 \end{cases}$$

Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen

Betragsgleichungen werden durch Fallunterscheidung gelöst. Der Grundsatz lautet: $ |A| = B $ hat genau dann Lösungen, wenn $ B \geq 0 $, und dann ist $ A = B $ oder $ A = -B $.

Beispiel: Löse $ |3x – 1| = 5 $. Fall 1: $ 3x – 1 = 5 \Rightarrow x = 2 $. Fall 2: $ 3x – 1 = -5 \Rightarrow x = -\frac{4}{3} $. Beide Lösungen sind gültig.

Für Betragsungleichungen gilt: $ |A| < B $ ist äquivalent zu $ -B < A < B $, und $ |A| > B $ ist äquivalent zu $ A < -B $ oder $ A > B $ (für $ B > 0 $).

Beispiel: Löse $ |x – 2| \leq 3 $. Umschreiben: $ -3 \leq x – 2 \leq 3 $, also $ -1 \leq x \leq 5 $. Die Lösungsmenge ist das Intervall $ [-1, 5] $, also alle Punkte mit Abstand höchstens 3 von 2.

Differenzierbarkeit und Knickstellen

An den Stellen, wo der Ausdruck innerhalb des Betrags sein Vorzeichen wechselt, entstehen typischerweise Knickstellen im Graphen. An diesen Stellen ist die Funktion zwar stetig, aber nicht differenzierbar. Für die Analysis bedeutet das: Ableitungsregeln können nicht direkt über die Knickstelle hinweg angewendet werden. Stattdessen muss man die Funktion durch eine Fallunterscheidung in Teilfunktionen zerlegen und diese getrennt ableiten.

Beispiel: Für $ f(x) = |x^2 – 1| $ ist die Ableitung:

$$f'(x) = \begin{cases} 2x & \text{falls } x < -1 \text{ oder } x > 1 \\ -2x & \text{falls } -1 < x < 1 \end{cases}$$

An den Stellen $ x = \pm 1 $ existiert die Ableitung nicht (Knick im Graphen).

Integration von Betragsfunktionen

Auch bei der Integration muss die Fallunterscheidung beachtet werden. Man zerlegt das Integrationsintervall an den Nullstellen des Arguments und integriert die Teilfunktionen separat. Dies entspricht genau dem Vorgehen bei der Flächenberechnung mit Vorzeichenberücksichtigung.

Beispiel: $ \int_0^3 |x – 1| \, dx = \int_0^1 (1-x) \, dx + \int_1^3 (x-1) \, dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} $.

Zusammenfassung

Betragsfunktionen erzeugen Graphen mit charakteristischen Knickstellen, an denen die Differenzierbarkeit verloren geht. Die Arbeit mit Betragsfunktionen erfordert stets eine sorgfältige Fallunterscheidung, sowohl beim Ableiten als auch beim Integrieren und beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen. Der Betrag als Abstandsbegriff liefert eine wertvolle geometrische Interpretation. Das systematische Aufstellen und Lösen von Fallunterscheidungen ist eine fundamentale mathematische Technik, die weit über Betragsfunktionen hinaus Anwendung findet.