Numerische Verfahren: Rechteck- und Trapezregel

Warum numerisch integrieren?

Nicht jedes Integral lässt sich analytisch berechnen. Bereits für einfach aussehende Funktionen wie $ e^{-x^2} $ oder $ \frac{\sin(x)}{x} $ existiert keine Stammfunktion, die sich durch elementare Funktionen ausdrücken ließe. In der Praxis kennt man den Integranden oft nur an diskreten Stellen – etwa durch Messwerte eines Sensors, der Temperatur, Druck oder Geschwindigkeit in regelmäßigen Zeitabständen erfasst. In all diesen Fällen greift man auf numerische Integrationsverfahren zurück, die den Integralwert näherungsweise berechnen.

Grundidee: Annäherung durch einfache Flächen

Alle numerischen Integrationsverfahren folgen demselben Prinzip: Man unterteilt das Integrationsintervall $[a, b]$ in $ n $ gleichbreite Teilintervalle der Breite $ h = \frac{b-a}{n} $ mit den Stützstellen $ x_i = a + i \cdot h $ für $ i = 0, 1, \dots, n $. Dann approximiert man die Fläche unter der Kurve durch geometrisch einfache Formen – Rechtecke oder Trapeze – und summiert deren Flächen.

Die Rechteckregel (Mittelpunktsregel)

Die einfachste Näherung besteht darin, die Funktion in jedem Teilintervall durch einen konstanten Wert zu ersetzen. Es gibt drei Varianten, je nachdem welcher Funktionswert als Höhe des Rechtecks verwendet wird:

Linke Rechtecksumme: Funktionswert am linken Rand des Teilintervalls
Rechte Rechtecksumme: Funktionswert am rechten Rand
Mittlere Rechtecksumme: Funktionswert in der Mitte des Teilintervalls

Die Mittelpunktsregel liefert die beste Näherung unter den Rechteckregeln:

$$\int_a^b f(x) \, dx \approx h \sum_{i=0}^{n-1} f\left(x_i + \frac{h}{2}\right)$$

Beispiel: Berechne $ \int_0^1 x^2 \, dx $ mit $ n = 4 $ (exakter Wert: $ \frac{1}{3} $).

Schrittweite: $ h = 0{,}25 $. Mittelpunkte: $ 0{,}125; \, 0{,}375; \, 0{,}625; \, 0{,}875 $.

$$\text{Näherung} = 0{,}25 \cdot (0{,}125^2 + 0{,}375^2 + 0{,}625^2 + 0{,}875^2) = 0{,}25 \cdot (0{,}0156 + 0{,}1406 + 0{,}3906 + 0{,}7656) = 0{,}25 \cdot 1{,}3125 = 0{,}3281$$

Der exakte Wert ist $ 0{,}\overline{3} $, der Fehler beträgt also nur etwa $ 0{,}005 $ – bereits mit vier Teilintervallen eine brauchbare Näherung.

Die Trapezregel

Die Trapezregel ersetzt die Funktion in jedem Teilintervall durch eine lineare Verbindung der Randwerte. Geometrisch legt man über jedes Teilintervall ein Trapez, dessen parallele Seiten die Funktionswerte an den Intervallgrenzen sind:

$$\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{2} \left[f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \cdots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)\right]$$

Kompakter geschrieben:

$$\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{2} \left[f(a) + f(b) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\right]$$

Die Randwerte $ f(a) $ und $ f(b) $ gehen einfach ein, alle inneren Stützstellen doppelt.

Beispiel: Berechne $ \int_0^1 x^2 \, dx $ mit $ n = 4 $.

Stützstellen: $ 0; \, 0{,}25; \, 0{,}5; \, 0{,}75; \, 1 $. Funktionswerte: $ 0; \, 0{,}0625; \, 0{,}25; \, 0{,}5625; \, 1 $.

$$\text{Näherung} = \frac{0{,}25}{2} [0 + 1 + 2(0{,}0625 + 0{,}25 + 0{,}5625)] = 0{,}125 \cdot [1 + 1{,}75] = 0{,}125 \cdot 2{,}75 = 0{,}34375$$

Der Fehler zum exakten Wert $ \frac{1}{3} \approx 0{,}333 $ beträgt etwa $ 0{,}01 $.

Fehlerverhalten und Vergleich

Der Approximationsfehler hängt von der Schrittweite $ h $ und der Glattheit der Funktion ab. Für die Trapezregel ist der Fehler proportional zu $ h^2 $: Halbiert man die Schrittweite, viertelt sich der Fehler. Die Mittelpunktsregel hat ebenfalls einen Fehler der Ordnung $ h^2 $, ist aber typischerweise um den Faktor 2 genauer als die Trapezregel. Die einfache Rechtecksumme (links oder rechts) hat nur Fehlerordnung $ h $ und ist damit deutlich ungenauer.

Verfeinert man die Unterteilung, werden alle Verfahren beliebig genau. In der Praxis wählt man $ n $ so, dass die gewünschte Genauigkeit erreicht wird. Verdoppelt man $ n $ und ändert sich das Ergebnis kaum noch, kann man von einer guten Näherung ausgehen.

Anwendung bei Messdaten

Ein besonders wichtiger Anwendungsfall: Man hat eine Tabelle mit Messwerten $ (x_i, y_i) $ und möchte die Fläche unter der Kurve berechnen. Da keine Funktionsgleichung vorliegt, kann man nicht analytisch integrieren. Die Trapezregel liefert hier direkt eine Näherung, indem man benachbarte Messpunkte durch Geraden verbindet und die Trapezflächen aufsummiert. Dies wird beispielsweise zur Berechnung der zurückgelegten Strecke aus Geschwindigkeitsmessungen oder zur Bestimmung von Energiemengen aus Leistungsdaten verwendet.

Zusammenfassung

Die Rechteck- und Trapezregel sind die grundlegenden numerischen Integrationsverfahren. Sie approximieren die Fläche unter einer Kurve durch Rechtecke bzw. Trapeze. Die Trapezregel und die Mittelpunktsregel haben beide Fehlerordnung $ h^2 $ und liefern für die meisten praktischen Zwecke ausreichend genaue Ergebnisse. Besonders bei Messdaten ohne analytische Funktionsgleichung sind diese Verfahren unverzichtbar.