Geometrische Verteilung

Grundgedanke

Die geometrische Verteilung beschreibt eine andere Fragestellung als die Binomialverteilung: Nicht „Wie viele Erfolge in $ n $ Versuchen?“, sondern „Wie viele Versuche bis zum ersten Erfolg?“ Die Zufallsgröße $ X $ zählt also die Anzahl der Versuche in einer Bernoulli-Kette, bis erstmals ein Erfolg eintritt.

Beispiel: Wie oft muss man würfeln, bis die erste 6 fällt? Die Antwort ist eine Zufallsgröße, die geometrisch verteilt ist.

Die Wahrscheinlichkeitsformel

Bei Erfolgswahrscheinlichkeit $ p $ pro Versuch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Erfolg genau im $ k $-ten Versuch eintritt:

$$P(X = k) = (1-p)^{k-1} \cdot p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots$$

Die Formel ergibt sich so: Es müssen die ersten $ k-1 $ Versuche Misserfolge sein (Wahrscheinlichkeit $ (1-p)^{k-1} $) und der $ k $-te Versuch ein Erfolg (Wahrscheinlichkeit $ p $). Da die Versuche unabhängig sind, multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten.

Die Zufallsgröße kann beliebig große Werte annehmen ($ k = 1, 2, 3, \ldots $) – theoretisch könnte es unendlich viele Versuche bis zum Erfolg geben. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ergibt aber 1 (geometrische Reihe).

Erwartungswert und Varianz

Der Erwartungswert der geometrischen Verteilung ist:

$$E(X) = \frac{1}{p}$$

Intuitiv: Bei Erfolgswahrscheinlichkeit $ p $ braucht man im Durchschnitt $ \frac{1}{p} $ Versuche bis zum ersten Erfolg. Bei einem Würfel erwartet man $ \frac{1}{1/6} = 6 $ Würfe bis zur ersten 6.

Die Varianz beträgt:

$$\text{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2}$$

Bei $ p = \frac{1}{6} $: $ \text{Var}(X) = \frac{5/6}{1/36} = 30 $, also $ \sigma = \sqrt{30} \approx 5{,}48 $. Die Wartezeit bis zur ersten 6 streut also sehr stark – Werte zwischen 1 und 12 sind durchaus üblich.

Beispiele

Beispiel 1 (Würfel): Wahrscheinlichkeit, dass die erste 6 genau beim 4. Wurf fällt: $ P(X = 4) = \left(\frac{5}{6}\right)^3 \cdot \frac{1}{6} \approx 0{,}0965 $.

Beispiel 2 (Lotto): Beim Lotto 6 aus 49 beträgt die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige etwa $ \frac{1}{13\,983\,816} $. Im Durchschnitt müsste man also ca. 14 Millionen Mal tippen, um einmal 6 Richtige zu haben. Die Wartezeit ist bei so kleinem $ p $ extrem groß.

Beispiel 3 (Pharmavertrieb): Ein Vertreter hat bei 30 % der Kundenanrufe Erfolg (Auftrag). Wie wahrscheinlich braucht er mindestens 5 Anrufe bis zum ersten Erfolg? $ P(X \geq 5) = (1 – 0{,}3)^4 \approx 0{,}2401 $, also ca. 24 %.

Kumulierte Verteilung

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Erfolg spätestens nach $ k $ Versuchen eintritt:

$$P(X \leq k) = 1 – (1-p)^k$$

Diese Formel ist oft nützlicher als die Einzelwahrscheinlichkeiten. Sie ergibt sich aus der Gegenwahrscheinlichkeit: „Kein Erfolg in den ersten $ k $ Versuchen“ hat die Wahrscheinlichkeit $ (1-p)^k $.

Gedächtnislosigkeit

Eine bemerkenswerte Eigenschaft: Die geometrische Verteilung ist gedächtnislos. Hat man bereits $ m $ Versuche ohne Erfolg durchgeführt, ist die Verteilung der verbleibenden Wartezeit wieder geometrisch mit denselben Parametern – die bisherigen Misserfolge haben keinen Einfluss:

$$P(X > m + k \mid X > m) = P(X > k)$$

Der Würfel „weiß nicht“, wie oft schon keine 6 gefallen ist. Jeder neue Wurf hat unabhängig von der Vergangenheit die Wahrscheinlichkeit $ \frac{1}{6} $ für eine 6.

Anwendungen

Die geometrische Verteilung modelliert Wartezeiten in diskreten Zeitschritten: Wie oft muss man versuchen, bis eine Lotterie gewonnen wird? Wie viele Anrufe bis zum ersten Auftrag? Wie viele Prüfungsversuche bis zum Bestehen? Wie viele Münzwürfe bis zum ersten Kopf? Sie ist das diskrete Gegenstück zur Exponentialverteilung in der stetigen Welt.

Zusammenfassung

Die geometrische Verteilung beschreibt die Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg in einer Bernoulli-Kette. Erwartungswert $ 1/p $, Varianz $ (1-p)/p^2 $. Die kumulierte Verteilung nutzt die Gegenwahrscheinlichkeit $ (1-p)^k $. Die Gedächtnislosigkeit ist eine charakteristische Eigenschaft. Typische Anwendungen sind Wartezeitprobleme in Spielen, Marketing und Zuverlässigkeit.