Urnenmodell: Ziehen mit/ohne Zurücklegen

Das Urnenmodell als universelles Werkzeug

Das Urnenmodell ist eines der wichtigsten Modelle der elementaren Stochastik. In seiner Grundform enthält eine Urne Kugeln verschiedener Farben, aus denen zufällig gezogen wird. Trotz seiner Einfachheit modelliert es viele reale Situationen: Qualitätskontrolle (intakte/defekte Teile), Meinungsumfragen (Ja/Nein-Antworten), Gewinnspiele (Niete/Gewinn) und mehr.

Zwei grundlegende Zugmodi werden unterschieden: Ziehen mit Zurücklegen und Ziehen ohne Zurücklegen. Beide führen zu unterschiedlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen und müssen klar unterschieden werden.

Ziehen mit Zurücklegen

Beim Ziehen mit Zurücklegen wird nach jedem Zug die gezogene Kugel wieder zurückgelegt, sodass die Zusammensetzung der Urne gleich bleibt. Die einzelnen Züge sind unabhängig, und die Erfolgswahrscheinlichkeit ist bei jedem Zug dieselbe.

Beispiel: Urne mit 4 roten und 6 blauen Kugeln ($ p = 0{,}4 $ für rot). Bei $ n $ Zügen mit Zurücklegen folgt die Anzahl $ X $ der roten Kugeln einer Binomialverteilung: $ X \sim B(n, 0{,}4) $.

Wahrscheinlichkeit für 3 rote bei 5 Zügen mit Zurücklegen:

$$P(X = 3) = \binom{5}{3} \cdot 0{,}4^3 \cdot 0{,}6^2 = 10 \cdot 0{,}064 \cdot 0{,}36 = 0{,}2304$$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beim Ziehen ohne Zurücklegen bleiben die gezogenen Kugeln außerhalb der Urne, sodass sich die Zusammensetzung mit jedem Zug verändert. Die Züge sind nicht unabhängig, und die Erfolgswahrscheinlichkeit ändert sich.

Die Anzahl der roten Kugeln bei $ n $ Zügen ohne Zurücklegen aus einer Urne mit insgesamt $ N $ Kugeln, davon $ M $ rote, folgt der hypergeometrischen Verteilung:

$$P(X = k) = \frac{\binom{M}{k} \cdot \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$$

Die Formel zählt die günstigen Möglichkeiten ($ k $ rote aus $ M $ und $ n-k $ nicht-rote aus $ N-M $) geteilt durch alle möglichen Auswahlen.

Beispiel: Urne mit 4 roten und 6 blauen. 3 Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen. Wahrscheinlichkeit für genau 2 rote:

$$P(X = 2) = \frac{\binom{4}{2} \cdot \binom{6}{1}}{\binom{10}{3}} = \frac{6 \cdot 6}{120} = \frac{36}{120} = 0{,}3$$

Vergleich beider Modelle

Das Ziehen mit Zurücklegen ist einfacher zu handhaben (konstante Wahrscheinlichkeiten, Unabhängigkeit) und führt zur Binomialverteilung. Das Ziehen ohne Zurücklegen ist realistischer bei endlichen Populationen (tatsächliche Stichproben) und führt zur hypergeometrischen Verteilung.

Bei großer Grundmenge $ N $ im Vergleich zur Stichprobe $ n $ (Faustregel: $ n < 0{,}05 \cdot N $) approximiert die Binomialverteilung die hypergeometrische gut. Deshalb verwendet man bei großen Populationen oft die einfachere Binomialverteilung, auch wenn streng genommen ohne Zurücklegen gezogen wird.

Erweiterung: Ziehen mit Beachtung der Reihenfolge

Neben „mit/ohne Zurücklegen“ gibt es die Unterscheidung „mit/ohne Beachtung der Reihenfolge“. Dies führt auf vier Fälle, die durch die Kombinatorik beschrieben werden:

Mit Zurücklegen, mit Reihenfolge: $ n^k $ Möglichkeiten
Ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge: $ \frac{n!}{(n-k)!} $ (Variationen)
Mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge: $ \binom{n+k-1}{k} $
Ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge: $ \binom{n}{k} $ (Kombinationen)

Zusammenfassung

Das Urnenmodell unterscheidet zwischen Ziehen mit und ohne Zurücklegen. Mit Zurücklegen bleiben die Wahrscheinlichkeiten konstant, die Züge sind unabhängig, die Binomialverteilung gilt. Ohne Zurücklegen verändert sich die Urnenzusammensetzung, die Züge sind abhängig, und es entsteht die hypergeometrische Verteilung. Bei großen Populationen im Vergleich zur Stichprobe nähern sich beide Modelle an. Das Urnenmodell ist ein vielseitiges Grundmodell für viele praktische Fragestellungen.