Anpassungstest (\( \chi^2 \)-Test, qualitativ)
Problemstellung
Ein Anpassungstest (auch Chi-Quadrat-Test oder \( \chi^2 \)-Test) prüft, ob beobachtete Häufigkeiten in einer Stichprobe mit einer theoretisch erwarteten Verteilung verträglich sind. Typische Fragen: Ist ein Würfel fair? Entspricht die Verteilung der Blutgruppen in einer Stichprobe den Erwartungen der Population? Passt eine beobachtete Verteilung zu einer vermuteten theoretischen Verteilung?
Der Anpassungstest erweitert den klassischen Hypothesentest von einem einzelnen Parameter (wie \( p \) bei der Binomialverteilung) auf eine gesamte Verteilung mit mehreren Kategorien.
Grundidee
Man vergleicht die beobachteten Häufigkeiten \( H_i \) in \( k \) Kategorien mit den erwarteten Häufigkeiten \( E_i \) unter der Nullhypothese. Die Nullhypothese \( H_0 \) besagt, dass die theoretische Verteilung korrekt ist. Abweichungen zwischen beobachteten und erwarteten Häufigkeiten werden mit der Chi-Quadrat-Statistik quantifiziert:
$$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(H_i – E_i)^2}{E_i}$$
Je größer \( \chi^2 \), desto stärker weichen die Beobachtungen von den Erwartungen ab. Unter \( H_0 \) folgt \( \chi^2 \) näherungsweise einer Chi-Quadrat-Verteilung mit \( k – 1 \) Freiheitsgraden (wenn keine Parameter aus den Daten geschätzt wurden).
Entscheidung
Man wählt ein Signifikanzniveau \( \alpha \) und bestimmt den kritischen Wert \( \chi^2_{\text{krit}} \) aus einer \( \chi^2 \)-Tabelle oder dem GTR. Die Entscheidungsregel lautet:
- \( \chi^2 > \chi^2_{\text{krit}} \) → \( H_0 \) wird abgelehnt (signifikante Abweichung)
- \( \chi^2 \leq \chi^2_{\text{krit}} \) → \( H_0 \) wird beibehalten
Beispiel: Ist ein Würfel fair?
Ein Würfel wird 120-mal geworfen. Bei Fairness erwartet man für jede Augenzahl \( E_i = 20 \) Treffer. Beobachtet wurden:
| Augenzahl | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Beobachtet \( H_i \) | 14 | 22 | 18 | 19 | 24 | 23 |
| Erwartet \( E_i \) | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 |
Chi-Quadrat-Berechnung:
$$\chi^2 = \frac{36}{20} + \frac{4}{20} + \frac{4}{20} + \frac{1}{20} + \frac{16}{20} + \frac{9}{20} = \frac{70}{20} = 3{,}5$$
Freiheitsgrade: \( k – 1 = 5 \). Kritischer Wert bei \( \alpha = 0{,}05 \): \( \chi^2_{\text{krit}} \approx 11{,}07 \). Da \( 3{,}5 < 11{,}07 \), wird \( H_0 \) beibehalten: Die Fairness des Würfels ist mit den Daten verträglich.
Voraussetzungen
Der \( \chi^2 \)-Test setzt voraus, dass die erwarteten Häufigkeiten \( E_i \) nicht zu klein sind. Als Faustregel sollten alle \( E_i \geq 5 \) sein. Bei kleineren Werten kann man Kategorien zusammenfassen oder auf exakte Tests ausweichen. Die Kategorien müssen disjunkt sein und zusammen die gesamte Grundmenge abdecken.
Anwendungsbereiche
Der Anpassungstest hat vielfältige Anwendungen:
- Genetik: Überprüfung von Mendels Vererbungsregeln
- Qualitätskontrolle: Verteilung von Fehlerarten
- Marktforschung: Passt die Altersverteilung der Kunden zur Gesamtbevölkerung?
- Glücksspiele: Test auf Manipulation von Würfeln, Karten oder Roulette
- Sozialwissenschaft: Analyse von Umfrageergebnissen
Zusammenfassung
Der \( \chi^2 \)-Anpassungstest vergleicht beobachtete mit erwarteten Häufigkeiten über \( k \) Kategorien und quantifiziert die Abweichung durch die \( \chi^2 \)-Statistik. Große Werte führen zur Ablehnung der Nullhypothese. Er ist ein vielseitiges Werkzeug zur Überprüfung von Verteilungsannahmen und findet breite Anwendung in Naturwissenschaft, Wirtschaft und Gesellschaftsforschung. Die Voraussetzung ausreichend großer erwarteter Häufigkeiten (\( E_i \geq 5 \)) muss beachtet werden.