Hypothesentest: einseitig und zweiseitig

Die Wahl der Alternativhypothese

Die Art des Hypothesentests – einseitig oder zweiseitig – hängt von der Formulierung der Alternativhypothese $ H_1 $ ab. Bei einem einseitigen Test vermutet man eine Abweichung in eine bestimmte Richtung; bei einem zweiseitigen Test in beide Richtungen. Die Wahl beeinflusst den kritischen Bereich und damit die Entscheidungsgrenze.

Einseitiger Test (rechtsseitig)

Die Hypothesen lauten: $ H_0: p \leq p_0 $ und $ H_1: p > p_0 $. Der kritische Bereich liegt rechts:

$$K = \{k, k+1, \ldots, n\}$$

wobei $ k $ die kleinste Zahl ist, für die $ P(X \geq k \mid p = p_0) \leq \alpha $. Man lehnt $ H_0 $ ab, wenn ungewöhnlich viele Erfolge beobachtet werden.

Beispiel: Ein Medikament soll eine Heilungsrate von mindestens 70 % haben ($ H_0: p \leq 0{,}7 $ wird getestet gegen $ H_1: p > 0{,}7 $). Bei $ n = 50 $ und $ \alpha = 0{,}05 $: Unter $ H_0 $ (Grenzfall $ p = 0{,}7 $) ist $ \mu = 35, \sigma \approx 3{,}24 $. Kritische Grenze: $ k \geq 35 + 1{,}645 \cdot 3{,}24 \approx 40{,}3 $, also $ k = 41 $. Werden mindestens 41 Heilungen beobachtet, wird $ H_0 $ abgelehnt.

Einseitiger Test (linksseitig)

Die Hypothesen: $ H_0: p \geq p_0 $ und $ H_1: p < p_0 $. Der kritische Bereich liegt links:

$$K = \{0, 1, \ldots, k\}$$

Man lehnt $ H_0 $ ab, wenn ungewöhnlich wenige Erfolge beobachtet werden.

Beispiel: Ein Hersteller garantiert höchstens 3 % Ausschuss ($ H_0: p \leq 0{,}03 $). Ein Kunde vermutet höheren Ausschuss ($ H_1: p > 0{,}03 $). Dies ist tatsächlich ein rechtsseitiger Test! Die Richtung des Tests hängt davon ab, was als „Erfolg“ definiert wird.

Zweiseitiger Test

Die Hypothesen: $ H_0: p = p_0 $ und $ H_1: p \neq p_0 $. Der kritische Bereich liegt auf beiden Seiten:

$$K = \{0, 1, \ldots, k_u\} \cup \{k_o, k_o+1, \ldots, n\}$$

Die Irrtumswahrscheinlichkeit wird auf beide Seiten aufgeteilt: je $ \frac{\alpha}{2} $ links und rechts. Man lehnt $ H_0 $ ab, wenn das Ergebnis ungewöhnlich weit in irgendeiner Richtung abweicht.

Beispiel: Ist ein Würfel fair? $ H_0: p = \frac{1}{6} $, $ H_1: p \neq \frac{1}{6} $. Bei $ n = 120 $ Würfen mit $ \alpha = 0{,}05 $: $ \mu = 20, \sigma \approx 4{,}08 $. Kritische Grenzen: $ k_u = 20 – 1{,}96 \cdot 4{,}08 \approx 12 $ und $ k_o = 20 + 1{,}96 \cdot 4{,}08 \approx 28 $. Werden weniger als 12 oder mehr als 28 Sechsen beobachtet, wird die Fairness abgelehnt.

Vergleich: Einseitig vs. zweiseitig

Der einseitige Test ist trennschärfer in der vermuteten Richtung, da die gesamte Irrtumswahrscheinlichkeit $ \alpha $ auf eine Seite konzentriert wird. Der zweiseitige Test verteilt $ \alpha $ auf beide Seiten und ist daher konservativer – er erkennt Abweichungen in jede Richtung, aber mit geringerer Empfindlichkeit in jeder einzelnen Richtung.

Die Wahl zwischen ein- und zweiseitig sollte vor der Datenerhebung getroffen werden, basierend auf der inhaltlichen Fragestellung, nicht auf den beobachteten Daten. Ein nachträgliches „Umschalten“ verfälscht das Signifikanzniveau.

Durchführung in der Praxis

Die Schritte eines Hypothesentests in der Schulmathematik:

Hypothesen $ H_0 $ und $ H_1 $ formulieren
Signifikanzniveau $ \alpha $ festlegen
Testgröße und ihre Verteilung unter $ H_0 $ bestimmen
Kritischen Bereich berechnen
Stichprobe auswerten und Entscheidung treffen

Zusammenfassung

Einseitige Tests prüfen Abweichungen in eine Richtung und legen den kritischen Bereich auf eine Seite; zweiseitige Tests prüfen Abweichungen in beide Richtungen mit aufgeteiltem $ \alpha $. Die Wahl hängt von der inhaltlichen Fragestellung ab und muss vor der Datenanalyse getroffen werden. Der einseitige Test ist trennschärfer in der vermuteten Richtung, der zweiseitige Test ist allgemeiner. Beide folgen demselben Grundschema von Hypothesenformulierung, Signifikanzniveaufestlegung und Entscheidung über den kritischen Bereich.