Berechnung von Binomialwahrscheinlichkeiten

Die Binomialformel in der Praxis

Die Wahrscheinlichkeit, bei $ n $ unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit $ p $ genau $ k $ Erfolge zu erzielen, berechnet sich mit der Binomialformel:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$

In der Praxis sind häufig nicht Einzelwahrscheinlichkeiten gefragt, sondern kumulierte Wahrscheinlichkeiten: „höchstens $ k $“, „mindestens $ k $“ oder „zwischen $ k_1 $ und $ k_2 $“. Diese erfordern das Aufsummieren mehrerer Binomialwahrscheinlichkeiten.

Typische Fragestellungen und ihre Berechnung

Genau $ k $ Erfolge: Direkte Anwendung der Formel.

Höchstens $ k $ Erfolge:

$$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}$$

Mindestens $ k $ Erfolge (Gegenwahrscheinlichkeit):

$$P(X \geq k) = 1 – P(X \leq k-1)$$

Zwischen $ k_1 $ und $ k_2 $ Erfolge:

$$P(k_1 \leq X \leq k_2) = P(X \leq k_2) – P(X \leq k_1 – 1)$$

Beispiel: Qualitätskontrolle

Ein Hersteller weiß, dass 5 % seiner Produkte fehlerhaft sind. In einer Stichprobe von 20 Stück wird geprüft. $ X \sim B(20; 0{,}05) $.

Genau 2 defekte: $ P(X=2) = \binom{20}{2} \cdot 0{,}05^2 \cdot 0{,}95^{18} = 190 \cdot 0{,}0025 \cdot 0{,}3972 \approx 0{,}189 $.

Höchstens 1 defektes: $ P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1) = 0{,}95^{20} + 20 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95^{19} \approx 0{,}3585 + 0{,}3774 = 0{,}7359 $.

Mindestens 3 defekte: $ P(X \geq 3) = 1 – P(X \leq 2) = 1 – (0{,}3585 + 0{,}3774 + 0{,}1887) \approx 1 – 0{,}9246 = 0{,}0754 $.

Berechnung mit dem GTR

Für größere Werte von $ n $ wird die händische Berechnung mühsam. Der GTR bietet zwei Funktionen:

binompdf(n, p, k): Berechnet $ P(X = k) $ (Einzelwahrscheinlichkeit)
binomcdf(n, p, k): Berechnet $ P(X \leq k) $ (kumulierte Wahrscheinlichkeit)

Mit binomcdf lassen sich alle Fragetypen beantworten: $ P(X \geq k) = 1 – \text{binomcdf}(n, p, k-1) $ und $ P(k_1 \leq X \leq k_2) = \text{binomcdf}(n, p, k_2) – \text{binomcdf}(n, p, k_1-1) $.

Tabellen der kumulierten Binomialverteilung

In vielen Formelsammlungen finden sich Tabellen, die $ P(X \leq k) $ für verschiedene Werte von $ n $ und $ p $ auflisten. Man liest den gewünschten Wert ab und rechnet bei Bedarf um. Bei der Verwendung ist auf die korrekte Zuordnung von $ n $, $ p $ und $ k $ zu achten.

Strategien bei „Mindestens“-Aufgaben

Aufgaben wie „Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt mindestens ein Erfolg auf?“ löst man am besten über die Gegenwahrscheinlichkeit: $ P(X \geq 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – (1-p)^n $. Dies ist einfacher als $ P(X=1) + P(X=2) + \ldots + P(X=n) $ zu summieren.

Beispiel: Bei 10 Würfen: Wie wahrscheinlich ist mindestens eine 6? $ P(X \geq 1) = 1 – \left(\frac{5}{6}\right)^{10} \approx 1 – 0{,}1615 = 0{,}8385 $. Mit fast 84 % Wahrscheinlichkeit fällt mindestens eine 6.

Bestimmung von $ n $ bei vorgegebener Wahrscheinlichkeit

Manchmal ist gefragt: Wie viele Versuche braucht man, damit $ P(X \geq 1) \geq 0{,}99 $? Aus $ 1 – (1-p)^n \geq 0{,}99 $ folgt $ (1-p)^n \leq 0{,}01 $, also $ n \geq \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(1-p)} $. Für $ p = \frac{1}{6} $: $ n \geq \frac{-4{,}605}{-0{,}1823} \approx 25{,}3 $, also mindestens 26 Würfe.

Zusammenfassung

Binomialwahrscheinlichkeiten berechnet man direkt mit der Formel, über kumulierte Werte oder mit dem GTR. Die Gegenwahrscheinlichkeit ist bei „Mindestens“-Aufgaben der eleganteste Weg. Der GTR mit binompdf und binomcdf deckt alle Fragetypen ab. Das Bestimmen der nötigen Versuchszahl $ n $ für eine vorgegebene Mindestwahrscheinlichkeit führt auf logarithmische Ungleichungen. Die sichere Beherrschung dieser Berechnungen ist Voraussetzung für Hypothesentests und Konfidenzintervalle.