Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung
Was ist eine Zufallsgröße?
Eine Zufallsgröße (auch Zufallsvariable) ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments einen Zahlenwert zuordnet. Sie übersetzt qualitative Ergebnisse in Zahlen und ermöglicht so die Anwendung mathematischer Methoden. Zufallsgrößen werden üblicherweise mit Großbuchstaben \( X, Y, Z \) bezeichnet, ihre konkreten Werte mit Kleinbuchstaben \( x, y, z \).
Beispiel 1: Beim Würfeln ist die Augenzahl selbst eine Zufallsgröße \( X \) mit den möglichen Werten \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \).
Beispiel 2: Beim dreimaligen Münzwurf kann \( X \) die Anzahl der „Kopf“-Ergebnisse zählen. Dann hat \( X \) die möglichen Werte \( \{0, 1, 2, 3\} \).
Beispiel 3: Beim Werfen zweier Würfel kann \( X \) die Augensumme sein, mit möglichen Werten \( \{2, 3, \ldots, 12\} \).
Diskrete und stetige Zufallsgrößen
Eine Zufallsgröße heißt diskret, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annehmen kann (z. B. Augenzahl, Trefferanzahl). Sie heißt stetig, wenn sie jeden Wert in einem Intervall annehmen kann (z. B. Körpergröße, Wartezeit). In der Schulmathematik stehen diskrete Zufallsgrößen im Vordergrund.
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsgröße \( X \) ordnet jedem möglichen Wert \( x_i \) seine Wahrscheinlichkeit \( P(X = x_i) = p_i \) zu. Die Verteilung wird oft als Tabelle dargestellt:
| \( x_i \) | \( x_1 \) | \( x_2 \) | \( \cdots \) | \( x_n \) |
|---|---|---|---|---|
| \( P(X = x_i) \) | \( p_1 \) | \( p_2 \) | \( \cdots \) | \( p_n \) |
Dabei muss gelten: \( p_i \geq 0 \) für alle \( i \) und \( \sum_{i} p_i = 1 \).
Beispiel: Für die Augensumme zweier Würfel:
| \( x \) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( P \) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{3}{36}\) | \(\frac{4}{36}\) | \(\frac{5}{36}\) | \(\frac{6}{36}\) | \(\frac{5}{36}\) | \(\frac{4}{36}\) | \(\frac{3}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) |
Die Summe 7 ist am wahrscheinlichsten (\( \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \)), da es die meisten Kombinationen gibt, die diese Summe ergeben: \( (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) \).
Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion \( F(x) = P(X \leq x) \) gibt die kumulierte Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsgröße höchstens den Wert \( x \) annimmt. Sie ist eine monoton steigende Treppenfunktion mit \( F(-\infty) = 0 \) und \( F(+\infty) = 1 \).
Grafische Darstellung
Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden häufig als Stabdiagramm (Balkendiagramm) dargestellt: Für jeden möglichen Wert \( x_i \) zeichnet man einen Stab der Höhe \( P(X = x_i) \). Die Verteilungsfunktion wird als Treppenfunktion gezeichnet. Beide Darstellungen geben einen schnellen visuellen Eindruck der Verteilungsform.
Zusammenfassung
Eine Zufallsgröße ordnet den Ergebnissen eines Zufallsexperiments Zahlenwerte zu. Ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit jeder Wert angenommen wird. Alle Wahrscheinlichkeiten sind nicht-negativ und summieren sich zu 1. Die Verteilungsfunktion kumuliert die Wahrscheinlichkeiten. Zufallsgrößen und ihre Verteilungen sind die Grundlage für Erwartungswert, Varianz und die spezifischen Verteilungsmodelle wie die Binomialverteilung.