Geradengleichung aus zwei Punkten bestimmen

Grundprinzip

Zwei verschiedene Punkte $ A $ und $ B $ bestimmen genau eine Gerade. Die Parameterdarstellung dieser Geraden lässt sich direkt aus den Koordinaten der beiden Punkte aufstellen. Der eine Punkt dient als Stützpunkt, und der Verbindungsvektor von $ A $ nach $ B $ dient als Richtungsvektor:

$$g: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \overrightarrow{AB} = \vec{a} + t(\vec{b} – \vec{a})$$

Für $ t = 0 $ erhält man den Punkt $ A $, für $ t = 1 $ den Punkt $ B $. Werte $ 0 < t < 1 $ liegen auf der Strecke $ \overline{AB} $, Werte außerhalb dieses Intervalls auf der Verlängerung.

Vollständiges Beispiel

Gegeben: $ A(2, -1, 3) $ und $ B(5, 2, 0) $.

Richtungsvektor: $ \overrightarrow{AB} = \vec{b} – \vec{a} = \begin{pmatrix}5-2\\2-(-1)\\0-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\3\\-3\end{pmatrix} $.

Man kann den Richtungsvektor vereinfachen, indem man durch den größten gemeinsamen Teiler dividiert: $ \frac{1}{3}\begin{pmatrix}3\\3\\-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix} $.

Geradengleichung: $ g: \vec{x} = \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix} $.

Probe mit Punkt B: Für $ t = 3 $: $ \begin{pmatrix}2+3\\-1+3\\3-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\2\\0\end{pmatrix} $ ✓.

Verschiedene Darstellungen derselben Geraden

Die Geradengleichung ist nicht eindeutig. Man kann einen beliebigen Punkt auf der Geraden als Stützpunkt und jeden skalaren Vielfaches des Richtungsvektors (außer null) als neuen Richtungsvektor wählen. Die Geraden $ \vec{x} = \vec{a} + t\vec{u} $ und $ \vec{x} = \vec{b} + s\vec{v} $ beschreiben dieselbe Gerade, wenn $ B $ auf der ersten Geraden liegt und $ \vec{v} = r\vec{u} $ für ein $ r \neq 0 $.

In der Ebene: Weitere Darstellungsformen

Im $ \mathbb{R}^2 $ gibt es neben der Parameterdarstellung weitere geläufige Formen der Geradengleichung:

Steigungsform: $ y = mx + b $ mit Steigung $ m $ und y-Achsenabschnitt $ b $
Normalform: $ \vec{n} \cdot (\vec{x} – \vec{p}) = 0 $
Zwei-Punkte-Form: $ \frac{x – x_A}{x_B – x_A} = \frac{y – y_A}{y_B – y_A} $

Im $ \mathbb{R}^3 $ verwendet man fast ausschließlich die Parameterdarstellung, da die anderen Formen nicht direkt übertragbar sind.

Sonderfälle und Fehlerquellen

Die wichtigste Fehlerquelle: Wenn $ A = B $ gilt, ist der Richtungsvektor der Nullvektor, und es gibt keine eindeutige Gerade. Man muss stets prüfen, dass die beiden Punkte verschieden sind. Liegen die Punkte auf einer Koordinatenachse, kann der Richtungsvektor besonders einfache Form haben, z. B. $ \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} $ für eine Gerade parallel zur $ x_1 $-Achse.

Anwendung: Strecken und Strahlen

Durch Einschränkung des Parameters lassen sich auch Strecken und Strahlen beschreiben. Die Strecke $ \overline{AB} $ erhält man für $ t \in [0, 1] $. Ein Strahl von $ A $ durch $ B $ für $ t \geq 0 $. Diese Parameterbeschränkungen sind bei Sichtbarkeitsprüfungen und in der Computergrafik wichtig.

Zusammenfassung

Die Gerade durch zwei Punkte wird aufgestellt, indem man einen Punkt als Stützpunkt und den Verbindungsvektor als Richtungsvektor verwendet. Die Parameterdarstellung ist die Standardform im dreidimensionalen Raum. Durch Vereinfachen des Richtungsvektors und Probe mit dem zweiten Punkt sichert man die Korrektheit. Die Parameterwerte $ t = 0 $ und $ t = 1 $ entsprechen den gegebenen Punkten, und die Einschränkung des Parameterbereichs ermöglicht die Beschreibung von Strecken und Strahlen.