Volumen von Pyramide, Prisma, Tetraeder

Volumenberechnung mit Vektoren

Die Vektorrechnung ermöglicht elegante Volumenberechnungen für Körper im Raum. Das zentrale Werkzeug ist das Spatprodukt dreier Vektoren, das das Volumen des von ihnen aufgespannten Parallelepipeds (Spats) liefert.

Das Spatprodukt

Das Spatprodukt der Vektoren $ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $ ist definiert als:

$$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$$

Man berechnet zuerst das Kreuzprodukt von $ \vec{a} $ und $ \vec{b} $, dann das Skalarprodukt mit $ \vec{c} $. Das Ergebnis ist eine reelle Zahl. Das Volumen des Spats (Parallelepipeds) ist der Betrag des Spatprodukts:

$$V_{\text{Spat}} = |[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]| = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$$

Ist das Spatprodukt null, liegen die drei Vektoren in einer Ebene (linear abhängig, koplanar).

Volumen eines Tetraeders

Ein Tetraeder (dreiseitige Pyramide) mit den Eckpunkten $ A, B, C, D $ hat das Volumen:

$$V_{\text{Tetraeder}} = \frac{1}{6} |(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD}|$$

Der Faktor $ \frac{1}{6} $ ergibt sich, weil der Tetraeder ein Sechstel des Spats ausmacht (ein Spat lässt sich in 6 kongruente Tetraeder zerlegen).

Beispiel: Tetraeder mit $ A(0,0,0) $, $ B(3,0,0) $, $ C(0,4,0) $, $ D(0,0,5) $.

$ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix} $, $ \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix} $, $ \overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix} $.

$ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}0\\0\\12\end{pmatrix} $. Spatprodukt: $ \begin{pmatrix}0\\0\\12\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix} = 60 $.

$ V = \frac{1}{6} \cdot 60 = 10 $ VE.

Volumen einer Pyramide

Eine Pyramide mit beliebiger Grundfläche $ A_G $ und Höhe $ h $ hat das Volumen:

$$V_{\text{Pyramide}} = \frac{1}{3} A_G \cdot h$$

Bei einer Pyramide mit einer parallelogrammförmigen Grundfläche gilt: $ A_G = |\vec{a} \times \vec{b}| $, wobei $ \vec{a}, \vec{b} $ die Grundkantenvektoren sind. Die Höhe ist der Abstand der Spitze von der Grundfläche.

Alternativ kann man das Spatprodukt verwenden: Eine Pyramide mit parallelogrammförmiger Grundfläche hat das Volumen $ \frac{1}{3} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| $, wobei $ \vec{c} $ der Vektor von einem Grundflächeneckpunkt zur Spitze ist. Bei einem Tetraeder (dreieckige Grundfläche) ist der Faktor $ \frac{1}{6} $ statt $ \frac{1}{3} $.

Volumen eines Prismas

Ein Prisma hat zwei kongruente, parallele Grundflächen und senkrechte oder schiefe Seitenflächen. Sein Volumen berechnet sich als:

$$V_{\text{Prisma}} = A_G \cdot h$$

wobei $ h $ die Höhe (senkrechter Abstand der Grundflächen) ist. Für ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche und Kantenvektoren $ \vec{a}, \vec{b} $ als Grundflächenvektoren und $ \vec{c} $ als Seitenkantenvektor:

$$V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| \cdot \frac{1}{2}$$

Der Faktor $ \frac{1}{2} $ kommt daher, dass die Grundfläche ein Dreieck (halbes Parallelogramm) ist.

Berechnung mit der Determinante

Das Spatprodukt lässt sich auch als Determinante der Matrix aus den drei Vektoren berechnen:

$$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \det\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}$$

Die Determinantenberechnung ist oft schneller als die explizite Kreuzprodukt-Skalarprodukt-Rechnung und eignet sich besonders für den GTR.

Zusammenfassung

Volumina im Raum werden über das Spatprodukt berechnet: $ V_{\text{Spat}} = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| $. Der Tetraeder hat $ \frac{1}{6} $ des Spatvolumens, die Pyramide mit Parallelogrammgrundlage $ \frac{1}{3} $. Das Prisma nutzt die Grundfläche mal Höhe. Das Spatprodukt kann als Determinante berechnet werden. Diese Formeln verbinden Kreuzprodukt, Skalarprodukt und Determinante zu einem leistungsfähigen Instrumentarium für räumliche Volumenberechnungen.