Affine Abbildungen und Matrizen
Was sind affine Abbildungen?
Eine affine Abbildung des Raums ist eine Abbildung, die Geraden auf Geraden abbildet und Parallelität erhält. Sie ist die allgemeinste „formbewahende“ Transformation in dem Sinne, dass gerade Strukturen gerade bleiben und parallele Linien parallel bleiben. Affine Abbildungen umfassen Verschiebungen, Drehungen, Spiegelungen, Streckungen und Scherungen.
Mathematisch hat jede affine Abbildung die Form:
$$\vec{x‘} = A \cdot \vec{x} + \vec{t}$$
Dabei ist \( A \) eine \( 3 \times 3 \)-Matrix (der lineare Anteil) und \( \vec{t} \) ein Verschiebungsvektor (der Translationsanteil). Ist \( \vec{t} = \vec{0} \), spricht man von einer linearen Abbildung.
Matrizen als Darstellung linearer Abbildungen
Eine Matrix ist ein rechteckiges Schema von Zahlen. Eine \( 3 \times 3 \)-Matrix \( A \) ordnet jedem Vektor \( \vec{x} \) durch Matrixmultiplikation einen neuen Vektor \( A\vec{x} \) zu:
$$A\vec{x} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 \\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 \end{pmatrix}$$
Die Spalten der Matrix sind die Bilder der Einheitsvektoren: Die erste Spalte ist \( A\vec{e}_1 \), die zweite \( A\vec{e}_2 \), die dritte \( A\vec{e}_3 \). Diese Eigenschaft ist besonders nützlich zur Konstruktion von Abbildungsmatrizen.
Wichtige Beispiele
Spiegelung an der \( x_1x_2 \)-Ebene (\( x_3 \)-Koordinate wird negiert):
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$
Streckung um Faktor \( k \) vom Ursprung:
$$A = \begin{pmatrix} k & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & k \end{pmatrix} = k \cdot E_3$$
Drehung um die \( x_3 \)-Achse um den Winkel \( \alpha \):
$$A = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 \\ \sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Determinante und ihre Bedeutung
Die Determinante \( \det(A) \) einer Abbildungsmatrix hat geometrische Bedeutung: Ihr Betrag gibt den Faktor an, um den sich Volumina unter der Abbildung ändern. Ist \( \det(A) > 0 \), bleibt die Orientierung erhalten; ist \( \det(A) < 0 \), wird sie umgekehrt (Spiegelung). Ist \( \det(A) = 0 \), ist die Abbildung nicht umkehrbar – sie projiziert den Raum auf eine niedrigere Dimension.
Für orthogonale Abbildungen (Drehungen und Spiegelungen) gilt \( |\det(A)| = 1 \) – sie sind längentreu und flächentreu.
Verkettung von Abbildungen
Die Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen \( A \) und \( B \) entspricht der Matrixmultiplikation \( BA \). Man wendet erst \( A \), dann \( B \) an: \( B(A\vec{x}) = (BA)\vec{x} \). Die Matrixmultiplikation ist assoziativ, aber im Allgemeinen nicht kommutativ – die Reihenfolge der Abbildungen ist wichtig.
Inverse Abbildung
Ist \( \det(A) \neq 0 \), existiert die inverse Matrix \( A^{-1} \) mit \( A^{-1}A = AA^{-1} = E \) (Einheitsmatrix). Die inverse Matrix beschreibt die Umkehrabbildung. Für \( 2 \times 2 \)-Matrizen gibt es eine explizite Formel; für größere Matrizen verwendet man den Gauß-Algorithmus.
Zusammenfassung
Affine Abbildungen beschreiben die allgemeinsten geradentreuen Transformationen des Raums. Ihr linearer Anteil wird durch eine Matrix dargestellt, die durch Matrixmultiplikation auf Vektoren wirkt. Die Determinante misst die Volumenänderung und die Orientierung. Drehungen, Spiegelungen, Streckungen und Scherungen sind spezielle lineare Abbildungen. Die Verkettung von Abbildungen entspricht der Matrixmultiplikation. Matrizen bilden damit die algebraische Grundlage für die Beschreibung geometrischer Transformationen.